Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm \(O,AB=a,BC=a\sqrt{3}\), chân đường cao hình chóp là điểm \(H\) thuộc cạnh AD sao cho \(DH=2AH\), góc giữa SD và mặt phẳng đáy bằng \({{60}^{{}^\circ }}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng: A
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\Rightarrow MO//SB\).
\(\Rightarrow d(SB,AC)=d(SB,(MAC))=d(B,(MAC))\).
Ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} d(B,(MAC))\cdot {{S}_{MAC}} & =d(M,ABCD)\cdot {{S}_{ABC}} \\ {} & =\frac{1}{2}SH\cdot \frac{1}{2}{{S}_{ABCD}} \\ {} & =\frac{1}{4}\cdot 2a\cdot a\cdot a\sqrt{3} \\ {} & =\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}. \\\end{array}\)
\(\Rightarrow d(B,(MAC))=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2.{{S}_{MAC}}}\).
Ta có: \(DH=2HA=\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\).
\((SD,(ABCD))=(SD,HD)=\widehat{SDH}={{60}^{{}^\circ }}\)
\(\Rightarrow SH=HD\cdot \tan {{60}^{{}^\circ }}=2a\)
\(\Rightarrow SD=\sqrt{H{{D}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\).
\(\Rightarrow MD=\frac{1}{2}SD=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\).
Do \(CD\bot AD,CD\bot SD\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot SD\).
\(\Rightarrow MC=\sqrt{C{{D}^{2}}+M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{3}a\);
\(MA=\sqrt{M{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}-2MD\cdot AD\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}}=\frac{\sqrt{21}}{3}a\);
\(AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=2a\).
\(\Rightarrow p=\frac{MA+MC+AC}{2}\).
\(\Rightarrow {{S}_{MAC}}=\sqrt{p(p-MA)(p-MC)(p-AC)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}\).
Thay (1) suy ra \(\Rightarrow d(B,(MAC))=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}}=\frac{3}{4}a\).
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Đề Thi Minh Họa Đánh Giá Năng Lực Năm 2025 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 1 là bài thi được thiết kế hiện đại, đánh giá toàn diện ba nhóm năng lực cốt lõi: Giải Quyết Vấn Đề Và Sáng Tạo, Giao Tiếp Và Hợp Tác, Tự Chủ Và Tự Học. Với cấu trúc ba phần rõ ràng, thí sinh sẽ trải qua Toán Học Và Xử Lí Số Liệu/Tư Duy Định Lượng, Văn Học - Ngôn Ngữ/Tư Duy Định Tính và Khoa Học/Tiếng Anh. Từng câu hỏi trong đề thi không chỉ đánh giá kiến thức mà còn đo lường khả năng lập luận, tư duy logic, ngôn ngữ, tính toán, và cả kỹ năng tiếng Anh. Đây là cơ hội để học sinh thể hiện toàn diện năng lực học tập và khả năng phân tích, giải quyết vấn đề một cách khoa học và sáng tạo.
Câu hỏi liên quan
2,58
Phương pháp giải
Đưa về tích phân của các hàm cơ bản.
Lời giải
\({{(2\tan x+\cot x)}^{2}}=4{{\tan }^{2}}x+4\tan x\cot x+{{\cot }^{2}}x=\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1\).
\(\begin{array}{*{35}{l}} \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{{{(2\tan x+\cot x)}^{2}}}dx & =\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{4}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)}dx \\ {} & =\left. (4\tan x-\cot x-x) \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} \\ {} & =\left( 3-\frac{\pi }{4} \right)-\left( \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi }{6} \right) \\ {} & =3-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}-\frac{1}{12}\pi . \\\end{array}\)
\(\Rightarrow a+b+c=3-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{31}{12}\).
Phương pháp giải
Dùng quan hệ song song xác định điểm I từ đó tính tỉ lệ bằng Thales
Lời giải
Từ \(P\) kẻ \(PK//BC\) cắt DC tại \(K\) trong (ABCD).
Trong (SCD) kẻ \(KI//SC,I\in SD\Rightarrow PI//(SBC)\).
Ta có: \(\frac{SI}{ID}=\frac{CK}{KD}=\frac{BP}{PD}=3\).
5
Phương pháp giải
Gọi tọa độ điểm \(I\) theo tham số. Lập phương trình \(IA=IB\) từ đó tìm \(I\) và bán kính.
Lời giải
\(\begin{align} & I\in d:2x-y-5=0\Rightarrow I(2a-5,a) \\ & I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{(2a-5-1)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}={{(2a-5-4)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-24a+36+{{a}^{2}}-4a+4=4{{a}^{2}}-36a+81+{{a}^{2}}-2a+1 \\ & \Leftrightarrow a=1 \\ & \Rightarrow I(1,-3) \\ & \Rightarrow R=IA=5. \\ \end{align}\)
2
Phương pháp giải
Gọi tọa độ điểm \(M\) theo tham số. Lập phương trình \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\) để tìm \(M\).
Lời giải
Do \(M\) thuộc tia \(Ox\).
\(\Rightarrow M(a,0,0)\) với \(a>0\).
\(\overrightarrow{MA}(-a,-1,-1)\), \(\overrightarrow{MB}(-1-a,2,4)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-a(-1-a)-2-4=0\).
\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+a-6=0\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=2(TM) \\ a=-3(KTM) \\\end{array} \right.\)
Vậy hoành độ điểm \(M\) là 2.
Phương pháp giải
Khoảng cách từ \(A\) đên \((P)\) lớn nhất khi \(d(A,(P))=d(A,d)\).
Lời giải
Gọi \(AH\bot d\) tại \(H\).
Để \(d{{(A,(P))}_{\max }}\Leftrightarrow d(A,(P))=AH\).
Gọi \(H\in d\Rightarrow H(1+2t,t,2+2t)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}(2t-1,t-5,2t-1)\).
Do \(AH\bot d\Rightarrow 2(2t-1)+1.t+2.(2t-1)=0\Leftrightarrow t=1\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}(1,-4,1)\).
\(\Rightarrow (P):1(x-3)-4(y-1)+1.(x-4)=0\).
\(\Leftrightarrow x-4y+z-3=0\).
\(\Leftrightarrow -x+4y-z+3=0\).
\(\Rightarrow a+b+c=-1+4-1=2\).
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
