Câu hỏi:

Phương pháp giải

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   (P)//d  \\   (P)//AB  \\\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{AB} \right] \right.\).

Viết phương trình mặt phẳng.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(-1,2,3),\overrightarrow{AB}=(1,-1,-1)\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   (P)//d  \\   (P)//AB  \\\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{AB} \right]=(1,2,-1) \right.\)

\(d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2-t  \\   y=1+2t  \\   z=3t  \\\end{array} \right.\) đi qua \(M(2,1,0)\Rightarrow (P)\) qua \(M\) và \(\vec{n}=(1,2,-1)\).

\(\Rightarrow (P)=1(x-2)+2(y-1)-1z=0\) \(\Leftrightarrow x+2y-z-4=0\).

Phương pháp giải

Đưa về tính tích phân thể tích

Lời giải

Ta có Elip bên trong có trục lớn bằng 620 và trục bé bằng 340 có phương trình:

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{310}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{170}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{y}_{1}}^{2}={{170}^{2}}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{310}^{2}}} \right)\).

Thể tích bồn chứa nước là:

\(V=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \int_{-310}^{310}{\left( {{170}^{2}}\cdot \left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{310}^{2}}} \right) \right)}dx=18763685m{{m}^{3}}=18,76d{{m}^{3}}\).

Phương pháp giải

Đưa về tính tích phân thể tích.

Lời giải

Ta Có \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1,1,2),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3,2,1)\) lần lượt là VTCP của \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\).

Do \(\Delta \bot {{d}_{1}}\Rightarrow \vec{u}\cdot \overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow a+b-2=0\) \(\Delta \) qua \(A(1;2;3)\), có một vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b;-1)\) nên có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1+at  \\   y=2+bt  \\   z=3-t  \\\end{array} \right.\).

Gọi \(M=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow M(1+at,2+bt,3-t)\in {{d}_{2}}\).

\(\Rightarrow \frac{1+at-2}{3}=\frac{2+bt}{2}=\frac{3-t}{1}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2+bt=6-2t  \\   1+at-2=9-3t  \\\end{array} \right.\) 

\(\Leftrightarrow \frac{4}{b+2}=\frac{10}{a+3}=t\Leftrightarrow 4a-10b=8\).

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=2  \\   b=0  \\\end{array}\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=8 \right.\).

Do \(G\in d\Rightarrow G(t+2;2t-2;2t-1)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=(t;2t;2t-2)\).

Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( \frac{3}{2}t;3t;3t-3 \right)\).

Do đó: \(M\left( \frac{3}{2}t+2;3t-2;3t-2 \right)\).

Do \(M\in (P)\) nên \(\frac{3}{2}t+2+2(3t-2)-3(3t-2)-1=0\Leftrightarrow t=2\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(3;6;3)\).

Vậy một vectơ chỉ phương của AM là \(\vec{u}=(1;2;1)\).

Phương pháp giải

Viêt phương trình mặt cầu tiễp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Lời giải

Khoảng cách từ \(I\) đẽn \((P)\) là:

\(IH=d(I;(P))=\frac{|3.1+2.0-1+4|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\sqrt{6}\).

Bán kính đường tròn giao tuyẽn là: \(AH=\frac{6\pi }{2}=2\pi \).

Bán kính mặt cầu là: \(R=IA=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{6+9}=\sqrt{15}\).

Phương trình mặt cầu là: \({{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=15\).