Câu hỏi:

Phương pháp giải

Đưa về tính tích phân thể tích.

Lời giải

Ta Có \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1,1,2),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3,2,1)\) lần lượt là VTCP của \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\).

Do \(\Delta \bot {{d}_{1}}\Rightarrow \vec{u}\cdot \overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow a+b-2=0\) \(\Delta \) qua \(A(1;2;3)\), có một vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b;-1)\) nên có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1+at  \\   y=2+bt  \\   z=3-t  \\\end{array} \right.\).

Gọi \(M=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow M(1+at,2+bt,3-t)\in {{d}_{2}}\).

\(\Rightarrow \frac{1+at-2}{3}=\frac{2+bt}{2}=\frac{3-t}{1}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2+bt=6-2t  \\   1+at-2=9-3t  \\\end{array} \right.\) 

\(\Leftrightarrow \frac{4}{b+2}=\frac{10}{a+3}=t\Leftrightarrow 4a-10b=8\).

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=2  \\   b=0  \\\end{array}\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=8 \right.\).

Do \(G\in d\Rightarrow G(t+2;2t-2;2t-1)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=(t;2t;2t-2)\).

Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( \frac{3}{2}t;3t;3t-3 \right)\).

Do đó: \(M\left( \frac{3}{2}t+2;3t-2;3t-2 \right)\).

Do \(M\in (P)\) nên \(\frac{3}{2}t+2+2(3t-2)-3(3t-2)-1=0\Leftrightarrow t=2\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(3;6;3)\).

Vậy một vectơ chỉ phương của AM là \(\vec{u}=(1;2;1)\).

Phương pháp giải

Viêt phương trình mặt cầu tiễp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Lời giải

Khoảng cách từ \(I\) đẽn \((P)\) là:

\(IH=d(I;(P))=\frac{|3.1+2.0-1+4|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\sqrt{6}\).

Bán kính đường tròn giao tuyẽn là: \(AH=\frac{6\pi }{2}=2\pi \).

Bán kính mặt cầu là: \(R=IA=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{6+9}=\sqrt{15}\).

Phương trình mặt cầu là: \({{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=15\).

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) là: \(z=0\).

Do \({{z}_{A}}\cdot {{z}_{B}}>0\Rightarrow A,B\) cùng phía so với \((Oxy)\).

Gọi \({{A}^{\prime }},{{B}^{\prime }}\) là hình chiễu của A, B lên \((Oxy)\).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{A}^{\prime }}(1;1;0)  \\   {{B}^{\prime }}(4;5;0)  \\\end{array}\Rightarrow {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5 \right.\).

Ta có: \(A{{A}^{\prime }}=2;B{{B}^{\prime }}=1\).

Đặt \(M{{A}^{\prime }}=x;N{{B}^{\prime }}=y\).

Ta có: \(AM+BN=\sqrt{{{x}^{2}}+{{2}^{2}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+{{1}^{2}}}\ge \sqrt{{{(x+y)}^{2}}+{{(2+1)}^{2}}}\) (Bất đẳng thức Mincopxki).

Lại có: \(A{{M}^{\prime }}+MN+N{{B}^{\prime }}\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=5\).

\(\Rightarrow x+y\ge {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}-MN=4\).

Vậy \(AM+BN\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\).

Số trung bình của mẫu số liệu ở biểu đồ là:

\(\frac{2.4+3.5+5.6+11.7+10.8+6.9+3.10}{4+5+6+8+8+9+10}=\frac{147}{20}.\)