Câu hỏi:

Vì \({{u}_{1}}\) chẵn và trong dãy có số hạng lè nên \(d\) lẻ.

Trường hợp 1: Dãy số có lẻ số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n}};{{u}_{2n+1}}\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n+1}}=44  \\   {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}} \right)\cdot (n+1)}{2}=44  \\   \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33  \\\end{array} \right. \right.\).

Mà \({{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n}}+d={{u}_{2}}+{{u}_{2n}}\) nên \(\frac{n+1}{n}=\frac{44}{3}\Rightarrow n=3\).

\(\Rightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}+{{u}_{7}}=77\) \(\Leftrightarrow 7{{u}_{4}}=77\Leftrightarrow {{u}_{4}}=11\).

+) Với \(d>0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=11\Leftrightarrow 3d=11-{{u}_{1}}\).

Do \({{u}_{1}}\ge 2\Rightarrow 3d\le 11-2\Leftrightarrow 3d\le 9\Leftrightarrow d\le 3\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{1;3\}\).

+) Với \(d<0\):

Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{7}}-3d=11\Leftrightarrow {{u}_{7}}=3d+11\).

Do \({{u}_{7}}>0\Rightarrow 3d+11>0\Leftrightarrow d>-\frac{11}{3}\). \(\Rightarrow -\frac{11}{3}<d<0\).

Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{-3;-1\}\).

Trường hợp 2: Dãy số có chẵn số hạng.

Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n-1}};{{u}_{2n}}\).

Do đó, để tổng số hạng có giá trị chẵn lớn hơn tổng số hạng có giá trị lẻ thì \(d<0\).

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n-1}}=44  \\   {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}} \right)\cdot n}{2}=44  \\   \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33  \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}}{2}=\frac{44}{n}  \\   \frac{{{u}_{2}}+{{u}_{2n}}}{2}=\frac{33}{n}  \\\end{array} \right. \right. \right.\)

Mà \({{u}_{2}}+{{u}_{2n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}+2d\) nên \(\frac{33}{n}=\frac{44}{n}+d\Leftrightarrow nd=-11\).

Do \(n\) là số tự nhiên và \(d\) lẻ nên \(\left[ \begin{array}{*{35}{l}}   n=11;d=-1  \\   n=1;d=-11  \\\end{array} \right.\).

Với \(n=11\); \(d=-1\) thì

\(\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{21}}}{2}=\frac{44}{11}\Leftrightarrow \frac{2{{u}_{1}}+20d}{2}=4\Leftrightarrow {{u}_{1}}=14\Rightarrow {{u}_{21}}=-6\).

Do các số hạng của cấp số cộng là số tự nhiên nên trường hợp này không thoả mãn.

Với \(n=1\); \(d=-11\) cấp số cộng có hai số hạng là \({{u}_{1}}=44\); \({{u}_{2}}=33\).

Vậy có 5 cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp giải

Tìm giới hạn của hàm số tại vô cực.

Lời giải

Vì số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số cá thể của quần thể khi đó là:

\(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N(t)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{16398{{e}^{0,5(t-9,19)}}}{0,12+{{e}^{0,5(t-9,19)}}}=16398\).

Phương pháp giải

Áp dụng công thức đạo hàm \({{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot {{u}^{\prime }}\).

Lời giải

Đạo hàm của hàm số \(y={{\sin }^{2}}2x\) là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {{y}^{\prime }} & ={{\left( {{\sin }^{2}}2x \right)}^{\prime }}  \\   {} & =2\cdot \sin 2x.{{(\sin 2x)}^{\prime }}  \\   {} & =2\cdot \sin 2x.2\cos 2x  \\   {} & =4\sin 2x\cos 2x  \\   {} & =2\sin 4x.  \\\end{array}\)

Ta có: \(\log _{2}^{2}x-2(m+2){{\log }_{2}}x+{{m}^{2}}+4m\le 0\) (ĐK: \(x>0\()

Đặt \({{\log }_{2}}x=t\). Vì \(x\in [2;4]\) nên \(t\in [1;2]\).

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

\({{t}^{2}}-2(m+2)t+{{m}^{2}}+4m\le 0(*)\).

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\in [2;4]\) thì bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(t\in [1;2]\).

Xét: \(f(t)={{t}^{2}}-2(m+2)t+{{m}^{2}}+4m\), có:

\(\Delta =4{{(m+2)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+4m \right)=16>0\) với mọi \(m\).

\(\Rightarrow \) Phương trình \(f(t)=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}=\frac{2(m+2)-\sqrt{16}}{2}=m  \\   {{x}_{2}}=\frac{2(m+2)+\sqrt{16}}{2}=m+4  \\\end{array} \right.\)

Do đó, bất phương trình \(f(t)\le 0\) có nghiệm là:

\(x\in [m;m+4]\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(t\in [1;2]\) thì:

\([1;2]\subset [m;m+4]\Leftrightarrow m\le 1<2\le m+4\Leftrightarrow -2\le m\le 1\).

Mà \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \{-2;-1;0;1\}\). 

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Phương pháp giải

Xét \({{f}^{\prime }}(x)>0\).

Lời giải

Ta có: \({{f}^{\prime }}(x)=x{{(x+1)}^{2}}(1-x)>0\Leftrightarrow x(1-x)>0\Leftrightarrow x\in (0;1)\).

Nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\).