Câu hỏi:

Phương pháp giải

Tìm giới hạn của hàm số tại vô cực.

Lời giải

Vì số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số cá thể của quần thể khi đó là:

\(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N(t)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{16398{{e}^{0,5(t-9,19)}}}{0,12+{{e}^{0,5(t-9,19)}}}=16398\).

Phương pháp giải

Áp dụng công thức đạo hàm \({{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot {{u}^{\prime }}\).

Lời giải

Đạo hàm của hàm số \(y={{\sin }^{2}}2x\) là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {{y}^{\prime }} & ={{\left( {{\sin }^{2}}2x \right)}^{\prime }}  \\   {} & =2\cdot \sin 2x.{{(\sin 2x)}^{\prime }}  \\   {} & =2\cdot \sin 2x.2\cos 2x  \\   {} & =4\sin 2x\cos 2x  \\   {} & =2\sin 4x.  \\\end{array}\)

Ta có: \(\log _{2}^{2}x-2(m+2){{\log }_{2}}x+{{m}^{2}}+4m\le 0\) (ĐK: \(x>0\()

Đặt \({{\log }_{2}}x=t\). Vì \(x\in [2;4]\) nên \(t\in [1;2]\).

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

\({{t}^{2}}-2(m+2)t+{{m}^{2}}+4m\le 0(*)\).

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\in [2;4]\) thì bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(t\in [1;2]\).

Xét: \(f(t)={{t}^{2}}-2(m+2)t+{{m}^{2}}+4m\), có:

\(\Delta =4{{(m+2)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+4m \right)=16>0\) với mọi \(m\).

\(\Rightarrow \) Phương trình \(f(t)=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{1}}=\frac{2(m+2)-\sqrt{16}}{2}=m  \\   {{x}_{2}}=\frac{2(m+2)+\sqrt{16}}{2}=m+4  \\\end{array} \right.\)

Do đó, bất phương trình \(f(t)\le 0\) có nghiệm là:

\(x\in [m;m+4]\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(t\in [1;2]\) thì:

\([1;2]\subset [m;m+4]\Leftrightarrow m\le 1<2\le m+4\Leftrightarrow -2\le m\le 1\).

Mà \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \{-2;-1;0;1\}\). 

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Phương pháp giải

Xét \({{f}^{\prime }}(x)>0\).

Lời giải

Ta có: \({{f}^{\prime }}(x)=x{{(x+1)}^{2}}(1-x)>0\Leftrightarrow x(1-x)>0\Leftrightarrow x\in (0;1)\).

Nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Xác định tọa độ điểm A, B, độ dài OA, OTính diện tích tam giác vuông OAB.

Lời giải

Ta có:

\({{y}^{\prime }}=3{{x}^{2}}+6x-6\).

\(\Rightarrow {{y}^{\prime }}(1)={{3.1}^{2}}+6.1-6=3\).

\(\Rightarrow y(1)={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}-6.1+1=-1\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

\(y-(-1)=3(x-1)\Leftrightarrow y=3x-4\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y=3x-4\) với hai trục tọa độ là:

+) Với \(x=0\) thì \(y=-4\) nên \(A(0;-4)\).

+) Với \(y=0\) thì \(3x-4=0\) suy ra \(x=\frac{4}{3}\) nên \(B\left( \frac{4}{3};0 \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có:

\(OA=\sqrt{{{0}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=4;OB=\sqrt{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}=\frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác OAB là: \({{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\).