Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2025 - Đề 2 - Đề 1
50 câu hỏi 60 phút
Cho hàm số \(y=\frac{2 x+1}{x-2}\) có đồ thị \((C)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị ( \(C\) ) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{2}{5}\) ?
4
5
2
3
Phương pháp giải
Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0}\) là:
\(y=\frac{-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{2 x_{0}+1}{x_{0}-2}\)
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là
\(A\left(\frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{5} ; 0\right), B\left(0 ; \frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\right)\)
Do đó diện tích tam giác \(S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} . O A \cdot O B=\frac{\left(2 x_{0}{ }^{2}+2 x_{0}-2\right)}{10\left(x_{0}-2\right)^{2}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{0}=-3 \\ x_{0}=1\end{array}\right.\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn.
Danh sách câu hỏi:
Phương pháp giải
Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_{0}\) là:
\(y=\frac{-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{2 x_{0}+1}{x_{0}-2}\)
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là
\(A\left(\frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{5} ; 0\right), B\left(0 ; \frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\right)\)
Do đó diện tích tam giác \(S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} . O A \cdot O B=\frac{\left(2 x_{0}{ }^{2}+2 x_{0}-2\right)}{10\left(x_{0}-2\right)^{2}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{0}=-3 \\ x_{0}=1\end{array}\right.\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn.
Phương pháp giải
Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho từ trước, từ đó suy ra giá trị của tham số
Lời giải
Điều kiện : \(m \neq 0\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{-3 x^{2}}{m}+6 m x\)
\(f^{\prime \prime}(x)=\frac{-6 x}{m}+6 m, f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow x=m^{2}\)
Đồ thị hàm số (C) có điểm uốn \(I\left(m^{2} ; 2 m^{5}-1\right)\)
Ta có : \(I \in(P) \Leftrightarrow 2 m^{5}-1=2 m^{4}-1 \Leftrightarrow m^{4}(m-1)=0 \Rightarrow m=1\)
Phương pháp giải
Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên
Lời giải
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : \(y=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)\)
Ta có:
\(\begin{align}& a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x^3}{x\left(x^2-1\right)}=1 \\& b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x^3}{x^2-1}-x\right)=0\end{align}\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y=x\)
Phương pháp giải
Dùng hàm đặc trưng
Lời giải
Ta có: \(\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x\)
\(\Leftrightarrow \log \frac{x y+y}{3 y^{2}+y} \leq\left(9 y^{4}+6 y^{3}+y^{2}\right)-\left(x^{2} y^{2}+2 x y \cdot y+y^{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow \log (x y+y)-\log \left(3 y^{2}+y\right) \leq\left(3 y^{2}+y\right)^{2}-(x y+y)^{2}\)
\(\Leftrightarrow \log (x y+y)+(x y+y)^{2} \leq \log \left(3 y^{2}+y\right)+\left(3 y^{2}+y\right)^{2}\)
Xét hàm : \(f(t)=\log t+t^{2}\) với \(t \in(0 ;+\infty)\)
\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 10}+2 t>0 \forall t \in(0 ;+\infty) \Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0 ;+\infty)\)
\(\Rightarrow f(x y+y) \leq f\left(3 y^{2}+y\right) \Leftrightarrow x y+y \leq 3 y^{2}+y \Leftrightarrow x \leq 3 y\)
Vì \(y \leq 1000\) nên ta có các trường hợp sau:
\(y=1 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3\}\)
\(y=2 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\)
\(y=1000 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 3000\}\)
Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3+6+9+\ldots+3000=1501500\)
Phương pháp giải
Sử dụng hàm đặc trưng
Lời giải
\(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)
\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}-27 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)
\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}+3 x^{2}+6 y=27 y^{3}+9 y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^{2}+2 y\right)^{3}+3\left(x^{2}+2 y\right)=(3 y)^{3}+3.3 y\left(^{*}\right)\)
Xét hàm số: \(f(t)=t^{3}+3 t\)
Ta có : \(f^{\prime}(t)=3 t^{2}+3>0 \forall t \in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Vì vậy \(\left({ }^{*}\right) \Leftrightarrow f\left(x^{2}+2 y\right)=f(3 y) \Leftrightarrow x^{2}+2 y=3 y \Leftrightarrow x^{2}=y\)
Theo giả thiết ta có : \(0 \leq y \leq 100 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 100 \Leftrightarrow-10 \leq x \leq 10\)
Vì \(x\) nguyên nên \(x \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots ; 8 ; 9 ; 10\}\), với mỗi \(x\) xác định duy nhất giá trị \(y=x^{2}\).
Vậy có 21 cặp \((x ; y)\) thỏa mãn bài toán.
