Câu hỏi:

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

Lời giải

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : \(y=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)\)

Ta có:

\(\begin{align}& a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x^3}{x\left(x^2-1\right)}=1 \\& b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x^3}{x^2-1}-x\right)=0\end{align}\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y=x\)

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Lời giải

Ta có: \(\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x\)

\(\Leftrightarrow \log \frac{x y+y}{3 y^{2}+y} \leq\left(9 y^{4}+6 y^{3}+y^{2}\right)-\left(x^{2} y^{2}+2 x y \cdot y+y^{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow \log (x y+y)-\log \left(3 y^{2}+y\right) \leq\left(3 y^{2}+y\right)^{2}-(x y+y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow \log (x y+y)+(x y+y)^{2} \leq \log \left(3 y^{2}+y\right)+\left(3 y^{2}+y\right)^{2}\)

Xét hàm : \(f(t)=\log t+t^{2}\) với \(t \in(0 ;+\infty)\)

\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 10}+2 t>0 \forall t \in(0 ;+\infty) \Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0 ;+\infty)\)

\(\Rightarrow f(x y+y) \leq f\left(3 y^{2}+y\right) \Leftrightarrow x y+y \leq 3 y^{2}+y \Leftrightarrow x \leq 3 y\)

Vì \(y \leq 1000\) nên ta có các trường hợp sau:

\(y=1 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3\}\)

\(y=2 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\)

\(y=1000 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 3000\}\)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3+6+9+\ldots+3000=1501500\)

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng

Lời giải

\(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)

\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}-27 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)

\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}+3 x^{2}+6 y=27 y^{3}+9 y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{2}+2 y\right)^{3}+3\left(x^{2}+2 y\right)=(3 y)^{3}+3.3 y\left(^{*}\right)\)

Xét hàm số: \(f(t)=t^{3}+3 t\)

Ta có : \(f^{\prime}(t)=3 t^{2}+3>0 \forall t \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vì vậy \(\left({ }^{*}\right) \Leftrightarrow f\left(x^{2}+2 y\right)=f(3 y) \Leftrightarrow x^{2}+2 y=3 y \Leftrightarrow x^{2}=y\)

Theo giả thiết ta có : \(0 \leq y \leq 100 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 100 \Leftrightarrow-10 \leq x \leq 10\)

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots ; 8 ; 9 ; 10\}\), với mỗi \(x\) xác định duy nhất giá trị \(y=x^{2}\).

Vậy có 21 cặp \((x ; y)\) thỏa mãn bài toán.

Cô mặc áo dài xanh không phải cô An và cô Bình lại ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn \(\Rightarrow\) loại phương án D

\(\Rightarrow\) Cô mặc áo dài xanh là cô Giang

Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Nhàn

\(\Rightarrow\) Cô mặc áo tím là cô Bình, áo hồng là cô Nhàn và cô An mặc áo trắng

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích.

Lời giải

\(\frac{V_{C M N P}}{V_{C M B D}}=\frac{C N}{C B} \cdot \frac{C P}{C D}=\frac{1}{4}(*), \frac{V_{C M B D}}{V_{C S B D}}=\frac{V_{M . C B D}}{V_{S . C B D}}=\frac{B M}{B S}=\frac{1}{2}\left({ }^{**}\right)\)

Lấy \((*) .\left({ }^{**}\right)\) ta được: \(\frac{V_{C M N P}}{V_{S . B C D}}=\frac{1}{8} \Rightarrow V_{C M N P}=\frac{1}{8} V_{S . B C D}\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(A D \Rightarrow S H \perp A D\) và \((S A D) \perp(A B C D)\) nên \(S H \perp(A B C D)\)

\(V_{S . B C D}=\frac{1}{3} S H \cdot S_{\triangle B C D}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} \Rightarrow V_{C M N P}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{96}\)