Câu hỏi:

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng

Lời giải

\(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)

\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}-27 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)

\(\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}+3 x^{2}+6 y=27 y^{3}+9 y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{2}+2 y\right)^{3}+3\left(x^{2}+2 y\right)=(3 y)^{3}+3.3 y\left(^{*}\right)\)

Xét hàm số: \(f(t)=t^{3}+3 t\)

Ta có : \(f^{\prime}(t)=3 t^{2}+3>0 \forall t \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vì vậy \(\left({ }^{*}\right) \Leftrightarrow f\left(x^{2}+2 y\right)=f(3 y) \Leftrightarrow x^{2}+2 y=3 y \Leftrightarrow x^{2}=y\)

Theo giả thiết ta có : \(0 \leq y \leq 100 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 100 \Leftrightarrow-10 \leq x \leq 10\)

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots ; 8 ; 9 ; 10\}\), với mỗi \(x\) xác định duy nhất giá trị \(y=x^{2}\).

Vậy có 21 cặp \((x ; y)\) thỏa mãn bài toán.

Cô mặc áo dài xanh không phải cô An và cô Bình lại ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn \(\Rightarrow\) loại phương án D

\(\Rightarrow\) Cô mặc áo dài xanh là cô Giang

Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Nhàn

\(\Rightarrow\) Cô mặc áo tím là cô Bình, áo hồng là cô Nhàn và cô An mặc áo trắng

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích.

Lời giải

\(\frac{V_{C M N P}}{V_{C M B D}}=\frac{C N}{C B} \cdot \frac{C P}{C D}=\frac{1}{4}(*), \frac{V_{C M B D}}{V_{C S B D}}=\frac{V_{M . C B D}}{V_{S . C B D}}=\frac{B M}{B S}=\frac{1}{2}\left({ }^{**}\right)\)

Lấy \((*) .\left({ }^{**}\right)\) ta được: \(\frac{V_{C M N P}}{V_{S . B C D}}=\frac{1}{8} \Rightarrow V_{C M N P}=\frac{1}{8} V_{S . B C D}\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(A D \Rightarrow S H \perp A D\) và \((S A D) \perp(A B C D)\) nên \(S H \perp(A B C D)\)

\(V_{S . B C D}=\frac{1}{3} S H \cdot S_{\triangle B C D}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} \Rightarrow V_{C M N P}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{96}\)

Phương pháp giải

Phân tích vecto.

Lời giải

Vẽ \(M E \| S A \Rightarrow M E \perp(A B C D)\), do đó \(D M \perp B N \Leftrightarrow D E \perp B N\). Đặt \(A N=x A D\)

Ta có \(: \overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A E}=-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}\)

\(\overrightarrow{B N}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A N}=-\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A D}\)

Vì \(B N \perp D E \Rightarrow(3 \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})(\overrightarrow{A B}-x \overrightarrow{A D})=0\)

\(\Leftrightarrow-3 x A D^{2}-A B^{2}+(3+x) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0\)

Vì tam giác \(A B D\) đều nên: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=A B \cdot A D \cdot \cos B A D=a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a^{2}}{2}\)

\(\Rightarrow-3 a x^{2}-a^{2}+\frac{a^{2}(3+x)}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{2}{5} \Rightarrow A N=\frac{2}{5} A D\)

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao đồ thị

Lời giải

Xét hàm số \(y=f\left(x^{2}-3 x+m\right)\) có

\(y^{\prime}=(2 x-3) \cdot f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right) \\ y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x-3=0\\ f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0\end{array}\right.\)

Để hàm số \(y=f\left(x^{2}-3 x+m\right)\) có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0\) có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\frac{3}{2}\) nhất.

Xét phương trình: \(f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-3 x+m+3\right)\left(x^{2}-3 x+m-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-3 x=-m-3 \\ x^{2}-3 x=4-m\end{array}\right.\)

Xét hàm số : \(h(x)=x^{2}-3 x\)

\(h^{\prime}(x)=2 x-3, h^{\prime}=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x\)

Để \(\quad f^{\prime}\left(x^{2}-3 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-3 x+m+3\right)\left(x^{2}-3 x+m-4\right)=0\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất \(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-3 x=-m-3  x^{2}-3 x=4-m\end{array}\right.\) có nhiều nghiệm bội lẻ nhất

Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x\) và các đường thẳng \(y=-m-3\) và \(y=4-m\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x)=x^{2}-3 x \Rightarrow\left[\begin{array}{c}-m-3>\frac{-9}{4} \\ 4-m>\frac{-9}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<\frac{-3}{4} \\ m<\frac{25}{4}\end{array}\right.\right.\)

Mà \(m \in[-10 ; 5]\), kết hợp các điều kiện \(\Rightarrow m \in\left(\frac{-3}{4} ; 5\right], m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 15