Câu hỏi:

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác.

Lời giải

Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi:

\(S(t)=50 \Leftrightarrow 50\left|\cot \frac{\pi}{12} t\right|=50 \Leftrightarrow \cot \frac{\pi}{12} t= \pm 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12} t= \pm \frac{\pi}{4}+k \pi \\\Leftrightarrow t= \pm 3+12 k(k \in \mathbb{Z}) .\)

Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên \(t=3\) hoặc \(t=9\). Tức là thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều.

Vậy trong ngày có 2 thời điểm mà độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Phương pháp giải

Công thức xác suất.

Lời giải

Ta có \(P(A \cup B)=1-P(\overline{A B})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\).

Khi đó: \(P(A B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)=\frac{3}{40}\).

Phương pháp giải

Công thức hệ thức lượng

Lời giải

Do sườn đồi dốc \(16 \%\), nên sườn đồi tạo với phương nằm ngang một góc \(B A D \approx 9^{\circ}\).

Từ đó ta có: \(B A C=D A C-D A B=36^{\circ}\) và \(B C A=45^{\circ}\).

Áp dụng định lý Sin cho tam giác \(A B C\), ta được: \(B C=\frac{A B}{\sin B C A} \cdot \sin B A C=26(\mathrm{~m})\).

Ta có \((1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} \cdot x+C_{n}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1} \cdot x^{n-1}+C_{n}^{n} x^{n}\).

Số hạng thứ \(k\) và \(k+1\) theo khai triển trên là \(C_{n}^{k-1}, C_{n}^{k}\) với \(1 \leq k \leq n ; k, n \in \mathbb{N}\).

Theo giả thiết ta có:

\(\frac{C_{n}^{k-1}}{C_{n}^{k}}=\frac{7}{15} \Leftrightarrow \frac{k}{n-k+1}=\frac{7}{15} \Leftrightarrow 15 k=7(n-k+1) \Leftrightarrow 22 k=7(n+1) .\)

Do \((22 ; 7)=1\) nên \(n+1\) chia hết cho 22 . Vậy \(n=22 m-1, m \in \mathbb{N}\).

Vây số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21 .

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và biện luận theo \(m\)

Lời giải

Ta có: \(m^{2} \ln \left(\frac{x}{e}\right)=(2-m) \ln x-4\)

\(\Leftrightarrow m^{2}(\ln x-1)=(2-m) \ln x-4 \Leftrightarrow\left(m^{2}+m-2\right) \ln x=m^{2}-4\). (1)

+ Với \(m^{2}+m-2=0 \Rightarrow m=1(m>0)\)

(1) \(\Leftrightarrow 0 \cdot \ln x=-3\) (Vô lý) Suy ra loại \(m=1\)

+ Với \(m \neq 1\)

(1) \(\Leftrightarrow \ln x=\frac{m-2}{m-1}\)

Hàm số \(y=\ln x\) đồng biến trên \(\left[\frac{1}{e} ; 1\right]\), suy ra \(\ln x \in[-1 ; 0]\).

Phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[\frac{1}{e} ; 1\right]\) khi:

\(-1 \leq \frac{m-2}{m-1} \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \frac { m - 2 } { m - 1 } \geq - 1 } \\{ \frac { m - 2 } { m - 1 } \leq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}m \geq \frac{3}{2} \\m<1\end{array}\right.} \\1<m \leq 2\end{array} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \leq m \leq 2 \text { suy ra } m=2\right.\right.\)

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.