Câu hỏi:

Phương pháp giải

Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

Lời giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(\mathrm{BD}, \mathrm{K}\) là trọng tâm của tam giác ABD .

Ta có \(\mathrm{AB}, \mathrm{DC}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng (PIQ) nên vecto \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

\(\mathrm{AB}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng (PIQ) nên vecto \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

\(\mathrm{DC}, \mathrm{MN}\) song song với mặt phẳng (PIQ) nên vecto \(\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{M N}\) đồng phẳng.

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị.

Lời giải

Ta có \(n=20\). Khi đó \(\frac{3}{4} .20=15\) và \(1+3+8<15<1+3+8+6\).

Vậy tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \([12 ; 13)\).

Phương pháp giải

Mối quan hệ vuông góc.

Lời giải

Gọi \(H\) là trung điểm của CD suy ra \(A H \perp C D\)

Mà \(\left\{\begin{array}{l}(A C D) \perp(B C D) \\ (A C D) \cap(B C D)=C D\end{array}\right.\)

Suy ra \(A H \perp(B C D)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\) nên \(C M \perp A B\)

Và \(\left\{\begin{array}{l}(A B C) \perp(A B D) \\ (A B C) \cap(A B D)=A B\end{array} \Rightarrow C M \perp D M\right.\).

\(\Delta A B C=\triangle A B D \Rightarrow M C=D M \Rightarrow \Delta M C D\) vuông cân tại \(M\).

Đặt \(C D=x \Rightarrow A H^{2}=B H^{2}=a^{2}+\frac{x^{2}}{4} \Leftrightarrow A B^{2}=A H^{2}+B H^{2}=2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}\).

Ta có

\(M H=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \Leftrightarrow M H=\frac{\sqrt{2}}{2} C D \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x \Leftrightarrow 4 a^{2}=3 x^{2} \Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}} a.\)

Phương pháp giải

Tính giới hạn.

Lời giải

Ta có \(\lim \frac{-3 n^{3}+2 n^{2}-4}{a n^{3}-1}=\lim \frac{n^{3}\left(-3+\frac{2}{n}-\frac{4}{n^{3}}\right)}{n^{3}\left(a-\frac{1}{n^{3}}\right)}=\frac{-3}{a}=\frac{1}{2}\).

Suy ra \(a=-6 \Rightarrow a^{2}+3 a=18\).

Phương pháp giải

Công thức đạo hàm.

Lời giải

\(f(x)=x \cdot[(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)]\)

Khi đó ta có:

\(f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)+x[(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)]^{\prime} \\ f(0)=(-1)(-2) \cdots(-2024)=1.2 \cdots 2024=2024!\)