Câu hỏi:

Phương pháp giải

Xét \({{f}^{\prime }}(x)>0\).

Lời giải

Ta có: \({{f}^{\prime }}(x)=x{{(x+1)}^{2}}(1-x)>0\Leftrightarrow x(1-x)>0\Leftrightarrow x\in (0;1)\).

Nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

Xác định tọa độ điểm A, B, độ dài OA, OTính diện tích tam giác vuông OAB.

Lời giải

Ta có:

\({{y}^{\prime }}=3{{x}^{2}}+6x-6\).

\(\Rightarrow {{y}^{\prime }}(1)={{3.1}^{2}}+6.1-6=3\).

\(\Rightarrow y(1)={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}-6.1+1=-1\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

\(y-(-1)=3(x-1)\Leftrightarrow y=3x-4\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y=3x-4\) với hai trục tọa độ là:

+) Với \(x=0\) thì \(y=-4\) nên \(A(0;-4)\).

+) Với \(y=0\) thì \(3x-4=0\) suy ra \(x=\frac{4}{3}\) nên \(B\left( \frac{4}{3};0 \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có:

\(OA=\sqrt{{{0}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=4;OB=\sqrt{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}=\frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác OAB là: \({{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\).

Phương pháp giải

Xét dấu của \({{g}^{\prime }}(x)\) dựa vào đồ thị hàm số của \({{f}^{\prime }}(x)\).

Lời giải

Từ đồ thị, ta thấy: \({{f}^{\prime }}(x)=-4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=0  \\   x=3  \\\end{array} \right.\).

Mà \({{g}^{\prime }}(x)={{f}^{\prime }}(x)+4\) nên: \({{g}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=0  \\   x=3  \\\end{array} \right.\).

Do đó, ta lập được bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {{g}^{\prime }}(x) & =2x\cdot {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2x-3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}  \\   {} & =2x\cdot \left[ {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2-3x+4{{x}^{2}} \right]  \\   {} & =2x.h(x)  \\\end{array}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0,\forall x  \\   2-3x+4{{x}^{2}}>0,\forall x  \\\end{array}\Rightarrow h(x)>0,\forall x \right.\).

Do đó: \({{g}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng xét dấu:

Vậy \(g(x)\) chỉ có một cực đại và không có cực tiểu.

Phương pháp giải

Đặt \(u=\cos x-1\).

Tìm điều kiện của \(u\).

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải

Đặt \(u=\cos x-1\).

Vì \(-1\le \cos x\le 1\) nên \(-2\le \cos x-1\le 0\) nên \(u\in [-2;0]\).

\(\Rightarrow f(u)\in [-3;3]\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3.