Câu hỏi:

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

\(L=\lim \frac{3 n-1}{n+2}=3\)

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t=\log _{2}\left(3^{x}-3\right)\)

Lời giải

Điều kiện \(\left\{\begin{array}{l}3^{x}-3>0  3^{x-2}-\frac{3}{4}>0\end{array} \Leftrightarrow x>1\right.\).

\(\log _{2}\left(3^{x}-3\right) \log _{8}\left(3^{x} 2^{-2}-\frac{3}{4}\right) \leq 1\)

\(\Leftrightarrow \log _{2}\left(3^{x}-3\right) \cdot \frac{1}{3}\left[\log _{2}\left(3^{x}-3\right)-2\right]-1 \leq 0\)

Đặt \(t=\log _{2}\left(3^{x}-3\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{3} t(t-2)-1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} t^{2}-\frac{2}{3} t-1 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow-1 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow-1 \leq \log _{2}\left(3^{x}-3\right) \leq 3\)

\(\Leftrightarrow \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 \Leftrightarrow \log _{3} \frac{7}{2} \leq x \leq \log _{3} 11\)

Suy ra tập nghiệm là \(S=\left[\log _{3} \frac{7}{2} ; \log _{3} 11\right] \Rightarrow a+b=\log _{3} \frac{77}{2}\).

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:

\(\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(0<a, c \neq 1, b>0)\)

\(\log _{a}(x y)=\log _{a} x+\log _{a} y(0<a \neq 1, x, y>0)\)

\(\log _{a^{n}} b^{m}=\frac{m}{n} \log _{a} b(0<a \neq 1, b>0)\)

Lời giải

Ta có: \(a+\frac{b+\log _{2} 5}{c+\log _{2} 3}=\log _{6} 45 \Leftrightarrow a+\frac{b+\log _{2} 5}{c+\log _{2} 3}=\frac{\log _{2} 45}{\log _{2} 6}\)

\(\Leftrightarrow \mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}+\log _{2} 5}{\mathrm{c}+\log _{2} 3}=\frac{\log _{2}\left(3^{2} .5\right)}{\log _{2}(2.3)} \Leftrightarrow \mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}+\log _{2} 5}{\mathrm{c}+\log _{2} 3}=\frac{2 \log _{2} 3+\log _{2} 5}{1+\log _{2} 3}\)

\(\Leftrightarrow \mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}+\log _{2} 5}{\mathrm{c}+\log _{2} 3}=\frac{2+2 \log _{2} 3-2+\log _{2} 5}{1+\log _{2} 3}\)

\(\Leftrightarrow \mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}+\log _{2} 5}{\mathrm{c}+\log _{2} 3}=2+\frac{-2+\log _{2} 5}{1+\log _{2} 3}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(a=2, b=-2, c=1\).

Vậy \(a+b+c=2+(-2)+1=1\).

Phương pháp giải

Gọi \(M\) là trung điểm của SB . Chứng minh \(G M \perp(S B C)\).

Khi đó, \(d(G ;(S B C))=G M\).

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(S B \Rightarrow A M \perp S B\) (vì \(\triangle S A B\) cân)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}B C \perp A B  B C \perp S A\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow B C \perp A M\right.\)

Và \(\left\{\begin{array}{l}A M \perp S B  A M \perp B C\end{array} \Rightarrow A M \perp(S B C) \Rightarrow G M \perp(S B C)\right.\) tại \(M\).

Do đó \(d(G ;(S B C))=G M\).

Ta có: \(S M=\sqrt{A B^{2}+S A^{2}}=\sqrt{6} \Rightarrow A M=\frac{S B}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\triangle S A B\) nên \(G M=\frac{1}{3} A M=\frac{\sqrt{6}}{6}\).

Phương pháp giải

Số điểm cực trị của \(y=|f(x)|=\) Số điểm cực trị của \(y=f(x)+\) Số nghiệm bội lẻ của \(f(x)=0\).

Lời giải

Xét \(g(x)=f(x)-\frac{x^{2}}{2} \Rightarrow g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-x\).

Từ đồ thị ta thấy: \(g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0  x=1  x=-1\end{array}\right.\)

Vì hệ số cao nhất của \(f(x)\) nhỏ hơn 0 nên hệ số cao nhất của \(g(x)\) cùng nhỏ hơn 0 . Ta có bảng biến thiên:

\(\Rightarrow g(x)=0\) luôn có đúng 2 nghiệm bội lẻ.

Số điểm cực trị của hàm số \(y=\left|f(x)-\frac{x^{2}}{2}\right|\) là 5 .