Câu hỏi:

Phương pháp giải

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải

Tập xác định của hàm số: \(D=(-\infty ;-2] \cup[2 ;+\infty)\).

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} y\) và \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y\) không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}{1-\frac{1}{x}}=1\)

và \(\lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}{1-\frac{1}{x}}=-1 \Rightarrow y=1, y=-1\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Phương pháp giải

Xác định vị trí của điểm \(H\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((S A B)\) và \((S A C)\).

Sử dụng định lý hàm số cos để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(B\) và vuông góc với \(A B \Rightarrow(\alpha) \cap(A B C)=B t / / A C\).

Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng qua \(C\) và vuông góc cới \(A C \Rightarrow(\beta) \cap(A B C)=C t^{\prime} / / A B\).

Khi đó, \((\alpha) \cap(\beta)=S H\) với \(H=B t \cap C t^{\prime}\) là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC .

Khi đó: \(\triangle S A B, \triangle S A C\) là hai tam giác vuông bằng nhau có \(S B=S C=a \sqrt{3}, S A=2 a\).

Gọi \(I\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác \(S A B\), ta có \(B I \perp S A, C I \perp S A\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((S A B)\) và \((S A C)\) là \((I B ; I C)\).

Xét \(\triangle I B C\) cân tại \(I\) có \(I B=I C=\frac{a \sqrt{3} \cdot a}{2 a}=\frac{a \sqrt{3}}{2}, B C=a \sqrt{2}\).

Ta có: \(\cos \widehat{B I C}=\frac{I B^{2}+I C^{2}-B C^{2}}{2 I B \cdot I C}=\frac{\frac{3 a^{2}}{4}+\frac{3 a^{2}}{4}-2 a^{2}}{2 \cdot \frac{3 a^{2}}{4}}=-\frac{1}{3}\).

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \((S A B)\) và \((S A C)\) bằng \(\frac{1}{3}\).

Phương pháp giải

Biến đổi lượng giác đưa về dạng phương trình \(a \sin 3 x+b \cos 3 x=c\)

Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm tập giá trị của \(y\).

Lời giải

Ta có: \(y=\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{6 \cos x \cos 2 x-4 \cos ^{3} x+3} \\ =\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{3(\cos 3 x+\cos x)-(\cos 3 x+3 \cos x)+3} \\ =\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{2 \cos 3 x+3} \\ \Leftrightarrow(2 \cos 3 x+3) y=\sin 3 x-2 \cos 3 x+10 \\ \Leftrightarrow(2 y+2) \cos 3 x-\sin 3 x=10-3 y\)

Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

\(\begin{align} (2 y+2)^{2}+(-1)^{2} \geq(10-3 y)^{2} \\ \Leftrightarrow 4 y^{2}+8 y+4+1 \geq 100-60 y+9 y^{2} \\ \Leftrightarrow 5 y^{2}-68 y+95 \leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{34-\sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34+\sqrt{681}}{5} .\end{align}\)

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y=\{2 ; 3 ; 4 ; \ldots ; 12\}\).

Vậy tập giá trị của \(y\) có 11 số nguyên.

Phương pháp giải

Nhìn vào biểu đồ để xác định.

Lời giải

Trong giai đoạn từ 2018 - 2021, năm 2020 có tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm cao nhất.

Phương pháp giải

Sử dụng tập giá trị của hàm số sin để tìm nhiệt độ cao nhất trong ngày,

Sau đó giải điều kiện để tìm thời gian nhiệt độ cao nhất.

Lời giải

Do \(-1 \leq \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 1, \forall t\) nên

\(-3 \leq 3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 3\)

\(\Leftrightarrow 26 \leq 29+3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 32\).

\(\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32\).

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(32^{\circ} \mathrm{C}\).

Dấu bằng xảy ra 

\(\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{12}(t-9)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t-9)=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \Leftrightarrow t=15+24 k(k \in \mathbb{Z})\)

Do \(0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15+24 k \leq 24 \Leftrightarrow-\frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}\). Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k=0\).

Khi đó \(t=15\).

Vậy lúc 15 h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.