Câu hỏi:

Phương pháp giải

Sử dụng tập giá trị của hàm số sin để tìm nhiệt độ cao nhất trong ngày,

Sau đó giải điều kiện để tìm thời gian nhiệt độ cao nhất.

Lời giải

Do \(-1 \leq \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 1, \forall t\) nên

\(-3 \leq 3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 3\)

\(\Leftrightarrow 26 \leq 29+3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 32\).

\(\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32\).

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(32^{\circ} \mathrm{C}\).

Dấu bằng xảy ra 

\(\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{12}(t-9)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t-9)=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \Leftrightarrow t=15+24 k(k \in \mathbb{Z})\)

Do \(0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15+24 k \leq 24 \Leftrightarrow-\frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}\). Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k=0\).

Khi đó \(t=15\).

Vậy lúc 15 h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và cộng trong xác suất

Lời giải

Xác suất người thứ nhất bắn trúng lỗ: 0,85

Xác suất người thứ hai bắn trúng bia: 0,7

Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng bia: \(0,85.0,7=0,595=59,5 \%\)

Phương pháp giải

- Tương giao đồ thị,

- Giải phương trình lượng giác tìm \(x_{B} ; x_{D}\). Từ đó tính giá trị \(x_{B}+x_{D}\).

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2 \sin ^{2} x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 1-\cos 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2 x= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\)

Ta thấy \(x_{A}, x_{B}, x_{C}, x_{D}\) là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.

Do đó: \(x_{A}=\frac{\pi}{6} ; x_{B}=\frac{5 \pi}{6} ; x_{C}=\frac{7 \pi}{6} ; x_{D}=\frac{11 \pi}{6} \Rightarrow x_{B}+x_{D}=\frac{8}{3} \pi\).

Vậy \(2 a+b=8.2+3=19\).

Phương pháp giải

Gọi \(D^{\prime}\) là trung điểm của \(B^{\prime} C^{\prime}\).

Kẻ \(B^{\prime} H \perp B D^{\prime}\).

Chứng minh \(d\left(A^{\prime} B ; C^{\prime} D\right)=B^{\prime} H\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \(B^{\prime} H\).

Lời giải

Gọi \(D^{\prime}\) là trung điểm của \(B^{\prime} C^{\prime}\), ta có \(B D C^{\prime} D^{\prime}\) là hình bình hành

\(\Rightarrow C^{\prime} D / / B D^{\prime} \Rightarrow C^{\prime} D / /\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\).

Kẻ \(B^{\prime} H \perp B D^{\prime}\).

Ta có: \(\left.\begin{array}{c}A^{\prime} D^{\prime} \perp B^{\prime} C^{\prime}  A^{\prime} D^{\prime} \perp B B^{\prime}\end{array}\right\} \Rightarrow A^{\prime} D^{\prime} \perp\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} D^{\prime} \perp B^{\prime} H\).

\(\left.\begin{array}{l}B^{\prime} H \perp B D^{\prime}  B^{\prime} H \perp A^{\prime} D^{\prime}\end{array}\right\} \Rightarrow B^{\prime} H \perp\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\).

Suy ra,

\(d\left(A^{\prime} B, C^{\prime} D\right)=d\left(C^{\prime} D ;\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=d\left(C^{\prime} ;\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=d\left(B^{\prime} ;\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=B^{\prime} H\).

Ta có: \(B^{\prime} D^{\prime}=\frac{a}{2} ; B B^{\prime}=2 a\).

Xét \(\triangle B B^{\prime} D^{\prime}\) vuông tại \(B^{\prime}\) ta có:

\(\frac{1}{B^{\prime} H^{2}}=\frac{1}{B B^{\prime 2}}+\frac{1}{B^{\prime} D^{\prime 2}}=\frac{1}{4 a^{2}}+\frac{4}{a^{2}} \Rightarrow B H=\frac{2 a}{\sqrt{17}}\).

Phương pháp giải

Trong \(\left(B B^{\prime} C^{\prime} C\right)\) kẻ \(C^{\prime} M / / B^{\prime} C(M \in B C)\).

Kẻ \(C H \perp A M ; C K \perp C^{\prime} H\).

Chứng minh: \(d\left(A C^{\prime} ; B^{\prime} C\right)=C K\).

Lời giải

Trong \(\left(B B^{\prime} C^{\prime} C\right)\) kẻ \(C^{\prime} M / / B^{\prime} C(M \in B C)\).

\(\Rightarrow B^{\prime} C / /\left(A C^{\prime} M\right) \Rightarrow d\left(A^{\prime} C ; B^{\prime} C\right)=d\left(B^{\prime} C ;\left(A C^{\prime} M\right)\right)=d\left(C ;\left(A C^{\prime} M\right)\right)\).

Kẻ \(C H \perp A M ; C K \perp C^{\prime} H\).

Do \(\left\{\begin{array}{l}C H \perp A M  C C^{\prime} \perp A M\end{array} \Rightarrow A M \perp\left(C C^{\prime} H\right) \Rightarrow A M \perp C K\right.\)

Mà \(C K \perp C^{\prime} H \Rightarrow C K \perp\left(A C^{\prime} M\right) \Rightarrow d\left(C ;\left(A C^{\prime} M\right)\right)=C K\).

Ta có: \(B^{\prime} C^{\prime} M C\) là hình bình hành nên \(C M=B^{\prime} C^{\prime}=3\).

\(\frac{1}{d^{2}(B ; A M)}=\frac{1}{A B^{2}}+\frac{1}{B M^{2}} \Rightarrow d(B ; A M)=\frac{12}{\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow C H=\frac{1}{2} d(B ; A M)=\frac{6}{\sqrt{13}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(C^{\prime} \mathrm{CH}\) ta có:

\(\frac{1}{C K^{2}}=\frac{1}{C H^{2}}+\frac{1}{C C^{\prime 2}} \Rightarrow C K=\frac{30}{19}\).