Câu hỏi:

Phương pháp giải

Xét từng đáp án.

Lời giải

Do \(f^{\prime}(x)<0, \forall x \in(0 ;+\infty)\) nên hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((0 ;+\infty)\).

Khi đó ta có:

\(f(2024)<f(0)=3 \Rightarrow \text { A sai } \\ f(2023)<f(0)=3 \Rightarrow f(2023)+f(2024)<3+3=6 \Rightarrow \text { B sai } \\ f(2023)>f(2024) \Rightarrow \text { C sai }\)

Do đó, \(\mathbf{D}\) đúng.

Phương pháp giải

- Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2 t ; t) \in \Delta: x-2 y=0\)

-Ta có: \(M I=d\left(I ; \Delta^{\prime}\right)\) từ đó tìm được \(t\).

-Viết phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2 t ; t) \in \Delta: x-2 y=0\)

Theo giả thiết, ta có:

\(M I=d\left(I ; \Delta^{\prime}\right) \Leftrightarrow \sqrt{(2 t-1)^{2}+(t-3)^{2}}=\frac{|2.2 t-t+2|}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{5 t^{2}-10 t+10}=\frac{|3 t+2|}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow 8 t^{2}-31 t+23=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=1  t=\frac{23}{8}\end{array}\right.\)

Với \(t=1\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I(2 ; 1)\), bán kính \(R=I M=\sqrt{5}\), và có phương trình là: \((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5\)

Với \(t=\frac{23}{8}\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I\left(\frac{23}{4} ; \frac{23}{8}\right)\), bán kính \(R=I M=\frac{17 \sqrt{5}}{8}\), và có phương trình là: \(\left(x-\frac{23}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{1445}{64}\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5\) và \(\left(x-\frac{23}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{1445}{64}\).

Phương pháp giải

- Tìm hai điểm cực trị.

- Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right) ; B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) :

\(A B=\sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}\)

Tìm cực trị của hàm số.

Lời giải

\(f^{\prime}(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^{2}=2 x^{2}-2 x-4+x^{2}-4 x+4=3 x^{2}-6 x\)

\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow y=4  x=2 \Rightarrow y=0\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(\sqrt{(0-2)^{2}+(4-0)^{2}}=2 \sqrt{5}\).

Phương pháp giải

Tìm tập xác định.

Khảo sát hàm số.

Kết luận khoảng nghịch biến.

Lời giải

Tập xác định: \(D=[0 ; 2]\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}=0 \Leftrightarrow x=1\).

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên \((1 ; 2)\).

Khi đó: \(a=1 ; b=2 \Rightarrow a+2 b=1+2.2=5\).

Lời giải

Ta có:

\(\left(x^{2}+1\right)^{n}=C_{n}^{0} x^{2 n}+C_{n}^{1} x^{2 n-2}+C_{n}^{2} x^{2 n-4}+\ldots+C_{n}^{n}\)

\((x+2)^{n}=C_{n}^{0} x^{n}+2 C_{n}^{1} x^{n-1}+2^{2} C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}\)

Ta thấy \(n=1, n=2\) không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với \(n \geq 3\) ta có: \(x^{3 n-3}=x^{2 n} \cdot x^{n-3}=x^{2 n-2} \cdot x^{n-1}\)

Do đó hệ số của \(x^{3 n-3}\) trong khai triển thành đa thức của \(\left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}\).

\(a_{3 n-3}=2^{3} \cdot C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{3}+2 \cdot C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{1}\).

\(\Rightarrow a_{3 n-3}=26 n \Leftrightarrow \frac{2 n\left(2 n^{2}-3 n+4\right)}{3}=26 n \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}n=0(L)  n=-\frac{7}{2}(L) .  n=5(t / m)\end{array}\right.\)

Vậy \(n=5\) là giá trị cần tìm.