Câu hỏi:

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số.

Từ đó tính \(f^{\prime}(1) \Rightarrow k\).

Lời giải

Ta có: \(f(x)=k \cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt{x}=k \cdot x^{\frac{1}{3}}+\sqrt{x}\).

\(f^{\prime}(x)=\frac{k}{3} x^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{k}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\).

Để \(f^{\prime}(1)=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{k}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow k=3\).

Phương pháp giải

Vận tốc của vật: \(v=s^{\prime}\)

Giải phương trình \(v=12\) tìm \(t\), từ đó tính quãng đường vật đã chuyển động.

Lời giải

Vận tốc của vật là: \(v=s^{\prime}=-2 t^{2}+14 t\).

Vận tốc của vật đạt \(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) thì \(-2 t^{2}+14 t=12 \Leftrightarrow 2 t^{2}-14 t+12=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=6\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\) Vật đạt vận tốc là \(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) lần thứ 2 khi \(t=6\).

Lúc đó quãng đường vật đi được là:

\(s(6)=-\frac{2}{3} .6^{4}+7 \cdot 6^{2}+3=111\) (mét)

Phương pháp giải

Xét từng đáp án.

Lời giải

Do \(f^{\prime}(x)<0, \forall x \in(0 ;+\infty)\) nên hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((0 ;+\infty)\).

Khi đó ta có:

\(f(2024)<f(0)=3 \Rightarrow \text { A sai } \\ f(2023)<f(0)=3 \Rightarrow f(2023)+f(2024)<3+3=6 \Rightarrow \text { B sai } \\ f(2023)>f(2024) \Rightarrow \text { C sai }\)

Do đó, \(\mathbf{D}\) đúng.

Phương pháp giải

- Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2 t ; t) \in \Delta: x-2 y=0\)

-Ta có: \(M I=d\left(I ; \Delta^{\prime}\right)\) từ đó tìm được \(t\).

-Viết phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2 t ; t) \in \Delta: x-2 y=0\)

Theo giả thiết, ta có:

\(M I=d\left(I ; \Delta^{\prime}\right) \Leftrightarrow \sqrt{(2 t-1)^{2}+(t-3)^{2}}=\frac{|2.2 t-t+2|}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{5 t^{2}-10 t+10}=\frac{|3 t+2|}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow 8 t^{2}-31 t+23=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=1  t=\frac{23}{8}\end{array}\right.\)

Với \(t=1\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I(2 ; 1)\), bán kính \(R=I M=\sqrt{5}\), và có phương trình là: \((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5\)

Với \(t=\frac{23}{8}\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I\left(\frac{23}{4} ; \frac{23}{8}\right)\), bán kính \(R=I M=\frac{17 \sqrt{5}}{8}\), và có phương trình là: \(\left(x-\frac{23}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{1445}{64}\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5\) và \(\left(x-\frac{23}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{1445}{64}\).

Phương pháp giải

- Tìm hai điểm cực trị.

- Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right) ; B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) :

\(A B=\sqrt{\left(x_{A}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{B}\right)^{2}}\)

Tìm cực trị của hàm số.

Lời giải

\(f^{\prime}(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^{2}=2 x^{2}-2 x-4+x^{2}-4 x+4=3 x^{2}-6 x\)

\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow y=4  x=2 \Rightarrow y=0\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(\sqrt{(0-2)^{2}+(4-0)^{2}}=2 \sqrt{5}\).