Câu hỏi:

Phương pháp giải

-Áp dụng bất đẳng thức \((x+y)^{2} \geq 4 x y\)

\(\log _{a}^{2}(b c)+\log _{a}\left(b^{3} c^{3}+\frac{b c}{4}\right)^{2}+4+\sqrt{9-c^{2}} \geq\left[\log _{a}(b c)+2\right]^{2}+\sqrt{9-c^{2}} \geq 0\)

Xét điều kiện để dấu " \(=\) " xảy ra.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức \((x+y)^{2} \geq 4 x y\), ta được:

\(\left(b^{3} c^{3}+\frac{b c}{4}\right)^{2} \geq b^{4} c^{4} \Rightarrow \log _{a}\left(b^{3} c^{3}+\frac{b c}{4}\right)^{2} \geq 4 \log a(b c)\)

Do đó với \(\forall a>1, b, c>0\)

\(\log _{a}^{2}(b c)+\log _{a}\left(b^{3} c^{3}+\frac{b c}{4}\right)^{2}+4+\sqrt{9-c^{2}} \geq \log _{a}^{2}(b c)+4 \log _{a}(b c)+4+\sqrt{9-c^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \log _{a}^{2}(b c)+\log _{a}\left(b^{3} c^{3}+\frac{b c}{4}\right)^{2}+4+\sqrt{9-c^{2}} \geq\left[\log _{a}(b c)+2\right]^{2}+\sqrt{9-c^{2}} \geq 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{array}{c}b^{3} c^{3}=\frac{b c}{4}\\\log _{a}(b c)=-2\\c^{2}=9 \\ a>1 \\ b>0 \\ c>0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2} \\ b=\frac{1}{6} \\ c=3\end{array}\right.\right.\)

Khi đó \(T=a+3 b+2 c=\sqrt{2}+\frac{1}{2}+6 \approx 7,91\).

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của \((\alpha)\) và hình chóp \(\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}\).

Sử dụng định lý Talet để tính tỉ số \(\frac{S K}{K C}\).

Lời giải

Gọi \(O=A C \cap B D\).

Trong \((S A C)\), kẻ \(O K / / S A(K \in S C)\).

Do đó \((\alpha)\) là mặt phẳng \((K B D)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(A C \Rightarrow \frac{O C}{O A}=1\).

Do \(O K / / S A \Rightarrow \frac{O C}{O A}=\frac{K C}{K S}=1 \Rightarrow \frac{S K}{K C}=1\).

Phương pháp giải

+ Biến đổi đưa phương trình về dạng hàm đặc trưng đưa phương trình về dạng \(a=g(x)\)

+ Khảo sát hàm số \(g(x)\) để tìm điều kiện của \(a\).

Lời giải

Ta có:

\(e^x=\ln (x+a)+a \Leftrightarrow e^x+x=\ln (x+a)+x+a \Leftrightarrow e^x+x=e^{\ln (x+a)}+\ln (x+a)\)

Xét hàm số \(f(t)=e^{t}+t\) có \(f^{\prime}(t)=e^{t}+1>0, \forall t\). Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó: \((1) \Leftrightarrow f(x)=f[\ln (x+a)] \Leftrightarrow x=\ln (x+a) \Leftrightarrow a=e^{x}-x\).

Đặt \(g(x)=e^{x}-x \Rightarrow g^{\prime}(x)=e^{x}-1=0 \Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\)

Để phương trình có nghiệm dương thì \(a>1\).

Do \(a \in(0 ; 19)\) và \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a \in\{2 ; 3 ; \ldots ; 18\}\)

Vậy có 17 giá trị nguyên của \(a\) để phương trình có nghiệm dương.

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện \([\mathrm{A}, \mathrm{BC}, \mathrm{D}]\).

Lời giải

Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{H}\) lần lượt là trung điểm của \(\mathrm{BC}, \mathrm{CD}\).

Do \(\triangle B C D\) vuông tại \(B\) nên \(B H=C H=D H\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\triangle B C D\).

Mà \(A B=A C=A D\) nên \(A H\) là đường cao kẻ từ \(A\) xuống \((B C D)\) hay \(A H \perp(B C D)\).

\(\Rightarrow A H \perp B C\).

\(\mathrm{M}, \mathrm{H}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}, \mathrm{CD}\) nên MH là đường trung bình của \(\triangle B C D\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}M H=\frac{1}{2} B D=\frac{a \sqrt{6}}{6} .  M H / / B D\end{array}\right.\).

Mà \(M D \perp B C\) nên \(M H \perp B C\). (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(B C \perp(A M H)\).

Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}B C \perp A M  B C \perp M H\end{array} \Rightarrow[A, B C, D]=\widehat{A M H}\right.\).

Lại có: \(A H=\sqrt{A C^{2}-C H^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{2}\).

\(\Rightarrow \tan \widehat{A M H}=\frac{A H}{M H}=\sqrt{3} \Rightarrow \widehat{A M H}=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos \widehat{A M H}=\frac{1}{2}\).

Phương pháp giải

Số ước nguyên dương của số A có phân tích thành thừa số nguyên tố \(A=x_{1}^{n_{1}} \cdot x_{2}^{n_{2}} \ldots x_{k}^{n_{k}}\) là \(\left(n_{1}+1\right)\left(n_{2}+1\right) \ldots\left(n_{k}+1\right)\).

Lời giải

Ta có: \(1605632=2^{15} .7^{2}\)

Suy ra số các ước nguyên dương của 1605632 là \((15+1)(2+1)=48\).

Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega)=48\).

Trong đó, số các số chia hết cho 7 là: \((15+1) \cdot 2=32\).

Xác suất cần tìm là: \(P=\frac{32}{48}=\frac{2}{3}\).