\(\forall (\mathop x\nolimits_1 ,\mathop y\nolimits_1 ),(\mathop x\nolimits_2 ,\mathop y\nolimits_2 ) \in \) dạng song tuyến tính η nào sau đây của không gian véc tơ R² là một tích vô hướng:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\frac{{3xdx}}{{\mathop x\nolimits^2 + 2x + 2}}} \)

Tìm hạng của hệ vectơ \(M = \left\{ {(1, - 1,0,0),(0,1, - 1,0),(0,0,1, - 1),( - 1,0,0,1} \right\} \subset \mathop R\nolimits^4\)

Tính \(I = \int\limits_1^{\mathop e\nolimits^2 } {\frac{{2dt}}{{t\sqrt {\ln t + 2} }}} \)

Tìm hạng của hệ vectơ \(\left\{ {(3,0,0,1),(0,0, - 2,0),(0,0,0,4),(0,0,0,2} \right\}\)

Cho PBĐTT \(f:\mathop R\nolimits^3 \to \mathop R\nolimits^3\) định bởi \(f(x,y,z) = (x;x - y + 4z;x - 2y + 8z)\) . Các vector nào sau đây tạo thành một cơ sở của ker f :

Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q: R³ -> R, \(Q(x,y,z) = \mathop {2x}\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 + 3\mathop z\nolimits^2 + 2mxy + 2xz\)  xác định dương:

Đa thức đặc trưng của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&1\\ 0&{ - 1}&{m + 1}\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\) là:

Tìm tất cả các giá trị của m để dạng toàn phương \(f(\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,\mathop x\nolimits_3 ) = \mathop {\mathop {5x}\nolimits_1 }\nolimits^2 + \mathop {\mathop {5x}\nolimits_2 }\nolimits^2 + m\mathop {\mathop x\nolimits_3 }\nolimits^2 + 6\mathop x\nolimits_1 \mathop x\nolimits_2 + 6\mathop x\nolimits_1 \mathop x\nolimits_3 - 4\mathop x\nolimits_2 \mathop x\nolimits_3 \) xác định âm:

Tính \(\int {\mathop {(1 + 2x)}\nolimits^{2013} } dx\)

Tìm tọa độ \(\mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,\mathop x\nolimits_3\) của vectơ \(u = (1,2m,2)\)   theo cơ sở: \(\mathop u\nolimits_1 = (1,0,0),\mathop u\nolimits_2 = (0,2,0),\mathop u\nolimits_3 = (2,1,1)\)

Cho dạng toàn phương Q: R³ -> R có ma trận trong cơ sở chính tắc \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&{ - 1}\\ m&1&2\\ { - 1}&2&5 \end{array}} \right)\) . Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q , xác định dương:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm \(z = {x^2} + 2x + 2y + 4\) trong miền \(- 2 \le x \le 1, - 1 \le x \le 1\)

Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\cos xdx}}{{4 - \sin x}}} \)

Xác định toạ độ của véc tơ \(v = (4, - 3,2)\) viết trong cơ sở \(\Re = \left\{ {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} \right\}\) của không gian R³:

Theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'=ycotx=sinxe^x có dạng:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ { - 1}&5&2\\ 2&2&2 \end{array}} \right)\)  Tìm ma trận trực giao P sao cho P^t AP có dạng chéo:

Tìm hạng của hệ vectơ \(M = \left\{ {(1,2, - 1),(1,1, - 2),(0,3,3),(2,3, - 3} \right\} \subset \mathop R\nolimits^3\)

Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng:\(f(x) = x + 2\cos x\left[ {0,\pi } \right]\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\mathop y\nolimits^3 - x = 0,y = 1,x = 8\)

Cho hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop x\nolimits_1 + 4\mathop x\nolimits_2 - 5\mathop x\nolimits_3 + 9\mathop x\nolimits_4 = 1\\ \mathop {3x}\nolimits_1 + 2\mathop x\nolimits_2 + 5\mathop x\nolimits_3 + 2\mathop x\nolimits_4 = 3\\ 2\mathop x\nolimits_1 + \mathop {2x}\nolimits_2 + 2\mathop x\nolimits_3 + 3\mathop x\nolimits_4 = 2\\ 2\mathop x\nolimits_1 + 3\mathop x\nolimits_2 + \mathop {4x}\nolimits_3 + 2\mathop x\nolimits_4 = 5 \end{array} \right.\)