260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có đáp án chi tiết

Câu 1:

Cho A B, là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C = AB, khi đó ta có

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $A = (a_{ij})_{5x5}$, $B = (b_{ij})_{5x5}$, $C = AB = (c_{ij})_{5x5}$. Vì dòng 2 của A bằng 0, tức là $a_{2j} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$. Ta có $c_{2j} = \sum_{k=1}^{5} a_{2k}b_{kj} = \sum_{k=1}^{5} 0.b_{kj} = 0$ với mọi $j = 1, 2, 3, 4, 5$. Vậy dòng 2 của C bằng 0. Vì cột 3 của B bằng 0, tức là $b_{i3} = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$. Ta có $c_{i3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}b_{k3} = \sum_{k=1}^{5} a_{ik}.0 = 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4, 5$. Vậy cột 3 của C bằng 0. Vậy dòng 2 và cột 3 của C bằng 0.

Câu 2:

Gọi V là không gian nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 0\\ 2{x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} + 6{x_5} = 0\\ (m + 1){x_1} + 5{x_2} + 6{x_3} + 7{x_4} + 2(m + 1){x_5} = 0 \end{array} \right.$ .Tìm m để dimV lớn nhất

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm giá trị của m sao cho dimV lớn nhất, ta cần tìm giá trị của m để hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình là nhỏ nhất. Khi hạng của ma trận hệ số nhỏ nhất, số chiều của không gian nghiệm V sẽ lớn nhất (vì dimV = số biến - hạng của ma trận hệ số). Xét ma trận hệ số của hệ phương trình: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ m+1 & 5 & 6 & 7 & 2(m+1) \end{bmatrix}$ Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang. Trừ 2 lần hàng 1 từ hàng 2, và trừ (m+1) lần hàng 1 từ hàng 3, ta được: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5-(m+1) & 6-(m+1) & 7-(m+1) & 2(m+1)-(m+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4-m & 5-m & 6-m & m+1 \end{bmatrix}$ Tiếp tục, trừ (4-m) lần hàng 2 từ hàng 3, ta được: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & (5-m)-2(4-m) & (6-m)-3(4-m) & (m+1)-4(4-m) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & m-3 & 2m-6 & 5m-15 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & m-3 & 2(m-3) & 5(m-3) \end{bmatrix}$ Để hạng của ma trận là nhỏ nhất, ta cần làm cho hàng cuối cùng bằng 0. Điều này xảy ra khi m = 3. Khi m = 3, hạng của ma trận là 2. Khi m khác 3, hạng của ma trận là 3. Vậy, để dimV lớn nhất, ta cần m = 3. Lúc này dimV = 5 - 2 = 3. Nếu m khác 3, dimV = 5 - 3 = 2.

Câu 3:

Cho hệ phương trình tuyến tính A_mxnX = B với R(A)= m. Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì R(A) = m, tức là hạng của ma trận hệ số bằng số hàng của ma trận, điều này có nghĩa là hệ phương trình có nghiệm. Hơn nữa, vì số ẩn n có thể lớn hơn m (n > m), hệ có thể có vô số nghiệm. Trường hợp n = m thì hệ có nghiệm duy nhất. Do đó, hệ phương trình chắc chắn có nghiệm, nhưng chưa đủ thông tin để kết luận nghiệm duy nhất hay vô số nghiệm.

Câu 4:

Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (1) với ${A_{mxn}}(m > n),\overline A = (A\left| B \right.)$. Ta có:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng $\overline A = (A | B)$, tức là R(A) = R($\overline A $). Vì A là ma trận m x n với m > n, nên hạng của A tối đa là n. Nếu R(A) < R($\overline A $), hệ vô nghiệm. Nếu R(A) = R($\overline A $), hệ có nghiệm. Nghiệm của hệ không phải là không gian con của R^n (nó là không gian con khi B = 0). Phương án R(A) >= R($\overline A $) không đúng vì hạng của ma trận mở rộng không thể nhỏ hơn hạng của ma trận A. Vì vậy, các câu kia đều sai.

Câu 5:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số $z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n}$ là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
$\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{ - 1 + i + i\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + i\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$
Đặt $z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)$, khi đó:
$r = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1 + 3 + 2\sqrt 3 + 1}}{4}} = \sqrt {\frac{8}{4}} = \sqrt 2 $
$cos\varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }};sin\varphi = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}$ suy ra $\varphi = \frac{{5\pi }}{{12}}$
Do đó, $z = {(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}})^n} = {(\sqrt 2 )^n}(cos(\frac{{5n\pi }}{{12}}) + isin(\frac{{5n\pi }}{{12}}))$
z là số thực khi và chỉ khi $sin(\frac{{5n\pi }}{{12}}) = 0$ suy ra $\frac{{5n\pi }}{{12}} = k\pi $ hay $n = \frac{{12k}}{5}$ với k là số nguyên.
Để n nguyên dương nhỏ nhất thì k=5, suy ra n=12.