260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có đáp án chi tiết

Câu 1:

Cho A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ { - 3}&1&0\\ 2&1&3 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\).Tính det(3AB)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có det(A) = 1*(1*3 - 0*1) = 3 và det(B) = 2*(1*1 - 4*0) = 2. Vậy det(3AB) = 3^3 * det(A) * det(B) = 27 * 3 * 2 = 162.

Cho hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.\). Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.\) Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: {x_3} + 2{x_4} = 0 \Rightarrow {x_3} = - 2{x_4} Thay vào phương trình thứ nhất, ta có: {x_1} + {x_2} - 4{x_4} + 3{x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} - {x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} = - {x_2} + {x_4} Vậy nghiệm của hệ có dạng: \(( - {x_2} + {x_4},{x_2}, - 2{x_4},{x_4}) = {x_2}( - 1,1,0,0) + {x_4}(1,0, - 2,1)\) Cơ sở của không gian nghiệm là {V₁ = (-1, 1, 0, 0), V₂ = (1, 0, -2, 1)} hoặc các tổ hợp tuyến tính của chúng. Kiểm tra các đáp án: Đáp án 1: V₁ = (1, 0, -2, 1). Thiếu vector. Đáp án 2: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (-2, 2, 0, 0), V₃ = (0, 1, -2, 1). V₃ không thuộc không gian nghiệm vì 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0, tuy nhiên hệ này phụ thuộc tuyến tính vì V₂ = -2*(-1, 1, 0, 0) và (0, 1, -2, 1) không phải là tổ hợp tuyến tính của V₁ và V₂. Đáp án 3: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (1, 1, 1, 0). V₂ không thuộc không gian nghiệm vì 1 + 1 + 2*1 + 3*0 = 4 != 0. Đáp án 4: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (0, 1, -2, 1). Kiểm tra V₂: 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0. Vậy V₂ thuộc không gian nghiệm. Hơn nữa, V₁ và V₂ độc lập tuyến tính. Vậy đáp án đúng là đáp án 4.

Câu 3:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để \({( - 1 + i\sqrt 3 )^n}\) là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đặt z = -1 + i√3. Ta có thể viết z dưới dạng lượng giác: z = r(cosθ + isinθ), với r = |z| = √((-1)^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = 2. Góc θ thỏa mãn cosθ = -1/2 và sinθ = √3/2. Vậy θ = 2π/3. Do đó, z = 2(cos(2π/3) + isin(2π/3)). Khi đó, z^n = 2^n(cos(2nπ/3) + isin(2nπ/3)). Để z^n là một số thực, phần ảo của nó phải bằng 0, tức là sin(2nπ/3) = 0. Điều này xảy ra khi 2nπ/3 = kπ, với k là một số nguyên. Suy ra, 2n/3 = k, hay n = 3k/2. Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 2, suy ra n = 3. Vậy, số nguyên dương n nhỏ nhất để (-1 + i√3)^n là một số thực là n = 3.

Câu 4:

Tập hợp tất cả các số phức |z + 2i| = |z - 2i| trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có |z + 2i| = |z - 2i| tương đương |x + (y+2)i| = |x + (y-2)i|. Điều này tương đương với √(x² + (y+2)²) = √(x² + (y-2)²). Bình phương hai vế, ta được x² + (y+2)² = x² + (y-2)². Khai triển và rút gọn, ta có y² + 4y + 4 = y² - 4y + 4, suy ra 8y = 0, hay y = 0. Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn là z = x + 0i = x, với x ∈ R, tức là trục Ox.

Câu 5:

Tìm argument \(\varphi \) của số phức \(z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\(z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}} = \frac{{2(\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}}{{\sqrt 2 ( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }})}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\frac{{\cos ( - \frac{\pi }{3}) + i\sin ( - \frac{\pi }{3})}}{{\cos (\frac{{3\pi }}{4}) + i\sin (\frac{{3\pi }}{4})}}\)
\(= \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)

Vậy argument của z là \(\varphi = \frac{{ - 13\pi }}{{12}}\)