Giải \({z^3} - i = 0\) trong trường số phức:

\({z_0} = {e^{\frac{{i\pi }}{6}}};{z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{3}}};{z_2} = {e^{\frac{{5i\pi }}{6}}}\)

Các câu kia sai

\({z_0} = {e^{\frac{{i\pi }}{6}}};{z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{2}}};{z_2} = {e^{\frac{{7i\pi }}{6}}}\)

\({z_0} = {e^{\frac{{i\pi }}{6}}};{z_1} = {e^{\frac{{5i\pi }}{6}}};{z_2} = {e^{\frac{{9i\pi }}{6}}}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có phương trình: z^3 = i. Đổi i về dạng lượng giác: i = cos(\(\frac{\pi}{2}\)) + isin(\(\frac{\pi}{2}\)).\nKhi đó, nghiệm của phương trình là z_k = \(\sqrt[3]{1}\) * e^(i * (\(\frac{\pi}{6}\) + k*\(\frac{2\pi}{3}\))), với k = 0, 1, 2.\nVới k = 0, ta có z_0 = e^(i*\(\frac{\pi}{6}\)).\nVới k = 1, ta có z_1 = e^(i*(\(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{2\pi}{3}\))) = e^(i*\(\frac{5\pi}{6}\)).\nVới k = 2, ta có z_2 = e^(i*(\(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{4\pi}{3}\))) = e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\)) = e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)).\nVậy nghiệm của phương trình là z_0 = e^(i*\(\frac{\pi}{6}\)), z_1 = e^(i*\(\frac{5\pi}{6}\)), z_2 = e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)). Tuy nhiên, đáp án thứ 4 có z_2 = e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\)) mà e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\))=e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)). Vậy đáp án 4 đúng

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Tập hợp tất cả các số phức \({e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi );0 \le \varphi \le \pi \) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(z = {e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) với \(0 \le \varphi \le \pi \), suy ra:

\(\left| z \right| = \left| {{e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )} \right| = {e^2}\) (vì \(\left| {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right| = 1\))

Vậy các số phức \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \({e^2}\).

Vì \(0 \le \varphi \le \pi \) nên các số phức này chỉ chiếm nửa đường tròn phía trên.

Câu 8:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm argument của số phức \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}\), trước hết ta cần đưa \(z\) về dạng \(a + bi\). Ta có: \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}} = \frac{{(2 + i\sqrt {12} )(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} = \frac{{2 - 2i + i\sqrt {12} - i^2\sqrt {12} }}{{1 - i^2}} = \frac{{2 + \sqrt {12} + i(\sqrt {12} - 2)}}{2} = \frac{{2 + 2\sqrt 3 + i(2\sqrt 3 - 2)}}{2} = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)\) Vậy \(z = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)\). Gọi \(\varphi \) là argument của \(z\). Khi đó: \(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 - 1)}}{{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}} = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \) Ta biết rằng \(\tan \frac{\pi }{{12}} = 2 - \sqrt 3 \). Do đó, \(\varphi = \frac{\pi }{{12}}\).

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức \(\left| {z + 4i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có: |z + 4i| = |z - 4| ⇔ |x + (y + 4)i| = |(x - 4) + yi| ⇔ √(x² + (y + 4)²) = √((x - 4)² + y²) ⇔ x² + (y + 4)² = (x - 4)² + y² ⇔ x² + y² + 8y + 16 = x² - 8x + 16 + y² ⇔ 8y = -8x ⇔ x + y = 0 Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn là đường thẳng x + y = 0.

Câu 10:

Cho số phức \(z = 1 + 2i\). Tính \(z^5.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(z = 1 + 2i\). \(z^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i\) \(z^4 = (-3+4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i\) \(z^5 = z^4 . z = (-7-24i)(1+2i) = -7 - 14i - 24i + 48 = 41 - 38i.\) Vậy \(z^5 = 41 - 38i.\)

Câu 11:

Cho \(A \in {M_4}\left[ R \right],B = ({b_{ij}}) \in {M_4}\left[ R \right]\), với \({b_{ij}} = 1\), nếu \(j = i + 1,{b_{ij}} = 0\), nếu \(j \ne i + 1\). Thực hiện phép nhân AB, ta thấy:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 12:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{3}}&{\sin \frac{\pi }{3}}\\ { - \sin \frac{\pi }{3}}&{\cos \frac{\pi }{3}} \end{array}} \right],X \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Lời giải: