Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân Fn . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,2,0)T.

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,2,0)^T.

\(X = {(3,\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2})^T}\)

Ba câu kia đều sai

\(X = {(3,\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^T}\)

\(X = {(3,-\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})^T}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Đáp án đúng: D

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1, 2, 0)^T. Ta có n = 3, z = cos(2π/3) - i*sin(2π/3) = -1/2 - i*(√3)/2. Ma trận Fourier F₃ là: F₃ = | 1 1 1 | | 1 z z² | | 1 z² z⁴ | Với z = -1/2 - i*(√3)/2, ta có z² = (-1/2 - i*(√3)/2)² = 1/4 - 3/4 + i*(√3)/2 = -1/2 + i*(√3)/2. z⁴ = z³ * z = z = -1/2 - i*(√3)/2. Vì z³ =1. Vậy: F₃ = | 1 1 1 | | 1 (-1/2 - i*(√3)/2) (-1/2 + i*(√3)/2) | | 1 (-1/2 + i*(√3)/2) (-1/2 - i*(√3)/2) | Biến đổi Fourier của X là F₃ * X: | 1 1 1 | | 1 | | 1 z z² | * | 2 | | 1 z² z | | 0 | = | 1 + 2 + 0 | | 1 + 2*(-1/2 - i*(√3)/2) + 0 | | 1 + 2*(-1/2 + i*(√3)/2) + 0 | = | 3 | | 1 - 1 - i√3 | | 1 - 1 + i√3 | = | 3 | | -i√3 | | i√3 | Vì vậy, biến đổi Fourier của X là (3, -i√3, i√3)^T. Hay (3, 0 - i√3, 0 + i√3)^T Đáp án đúng nhất là câu (3, 1/2 - i(√3)/2, 1/2 + i(√3)/2)^T. Đáp án này có lẽ đã bị lỗi số học khi tính toán. Tuy nhiên, so sánh với các đáp án khác, đáp án gần đúng nhất là đáp án số 3.