Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa \(2x + y + z − 3t = 4\) .

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + {\rm{ }}z + {\rm{ }}t = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z + 4t = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 2z + 5t = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho là một hệ thuần nhất. Ta cần tìm nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình 2x + y + z - 3t = 4.

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (1) và (2) ta có:
x + y + z + t = 0
2x + y + 3z + 4t = 0
=> (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0
=> -y + z + 2t = 0
=> y = z + 2t

Từ phương trình (1) và (3) ta có:
x + y + z + t = 0
3x + 4y + 2z + 5t = 0
=> (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0
=> y - z + 2t = 0
=> y = z - 2t

Từ đó suy ra:
z + 2t = z - 2t
=> 4t = 0
=> t = 0

Vậy y = z

Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z

Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0)

Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4:
2(-2z) + z + z - 3(0) = 4
=> -4z + 2z = 4
=> -2z = 4
=> z = -2

Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).

Câu 25:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau là hệ Cramer \(\left\{ \begin{array}{l} 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{\rm{ }}\\ x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình là hệ Cramer khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&m\\
3&2&{ - 1}\\
1&2&{ - 3}
\end{array}} \right)\)
Tính định thức của ma trận A:
\(\begin{array}{l}
det(A) = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
2&{ - 3}
\end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 1}\\
1&{ - 3}
\end{array}} \right| + m\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2\\
1&2
\end{array}} \right|\\ = 2( - 6 + 2) - 3( - 9 + 1) + m(6 - 2)\\ = 2( - 4) - 3( - 8) + 4m\\ = - 8 + 24 + 4m\\ = 16 + 4m
\end{array}\)
Để hệ phương trình là hệ Cramer thì \(\det (A) \ne 0\), tức là \(16 + 4m \ne 0 \Rightarrow 4m \ne - 16 \Rightarrow m \ne - 4\).
Vậy, hệ phương trình là hệ Cramer khi \(m \ne -4\).

Câu 26:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có định thức của hệ phương trình là:

\(\begin{vmatrix}
1 & m & m\\
m & 1 & m\\
m & m & 1
\end{vmatrix} = (1-m^2) - m(m-m^2) + m(m^2-m) = 1-m^2 - m^2 + m^3 + m^3 - m^2 = 2m^3 - 3m^2 -m + 1 = (m-1)(2m^2-m-1) = (m-1)^2(2m+1)\)

Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne -\frac{1}{2}\), hệ có nghiệm duy nhất.

Xét \(m = 1\), hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)

Hệ này có vô số nghiệm.

Xét \(m = -\frac{1}{2}\), hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 1\\
-\frac{1}{2}x + y - \frac{1}{2}z = 1\\
-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z = -\frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Nhân cả 3 vế của phương trình với 2, ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y - z = 2\\
-x + 2y - z = 2\\
-x - y + 2z = -1
\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của 3 phương trình, ta được \(0 = 3\) (vô lý). Vậy hệ vô nghiệm.

Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ne -\frac{1}{2}\).

Câu 27:

Tìm tất cả giá trị thực m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} + {\rm{ }}8z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{m^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }}} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}5 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì các phương trình phải tương đương nhau hoặc có dạng tỉ lệ. Ta thấy phương trình thứ hai gấp 2 lần phương trình thứ nhất. Vậy để hệ có vô số nghiệm thì \(m + 4 = 2\), suy ra \(m = -2\). Thay \(m = -2\) vào phương trình thứ ba, ta có \(3x + 6y + ((-2)^2 + 5)z = -2 + 5\), tức là \(3x + 6y + 9z = 3\), hay \(x + 2y + 3z = 1\), giống phương trình thứ nhất. Vậy \(m = -2\) là giá trị cần tìm.

Câu 28:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(mx + y + 3z, mx − 2y + z, x − y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để \(mx + y + 3z, mx − 2y + z, x − y + z\) là một cơ sở của không gian vectơ V, định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này phải khác 0. Ta có ma trận:

\(\begin{bmatrix} m & 1 & 3 \\ m & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

Tính định thức của ma trận này:
\(\begin{aligned}det(A) &= m((-2)(1) - (1)(-1)) - 1(m(1) - 1(1)) + 3(m(-1) - (-2)(1)) \\&= m(-2 + 1) - (m - 1) + 3(-m + 2) \\&= -m - m + 1 - 3m + 6 \\&= -5m + 7\end{aligned}\)

Để \(mx + y + 3z, mx − 2y + z, x − y + z\) là cơ sở, định thức phải khác 0:
\(-5m + 7 \ne 0\)
\(5m \ne 7\)
\(m \ne \frac{7}{5}\)

Vậy, \(m \ne \frac{7}{5}\).

Câu 29:

Tính \(A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&1&1\\ 1&3&1&1\\ 1&1&4&1\\ 1&1&1&b \end{array}} \right|.\)

Lời giải: