Các giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{2x}&{\mathop x\nolimits^2 }\\ 1&2&4&4\\ 1&{ - 1}&{ - 2}&1\\ 2&3&1&{ - 1} \end{array}} \right)\)

Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức \(A=\left\lfloor {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + i}&{3 + 2i}\\ {1 - 2i}&{4 - 1} \end{array}} \right\rfloor\). Tuy nhiên, biểu thức này không có nghĩa rõ ràng trong toán học thông thường. Kí hiệu \(\left\lfloor x \right\rfloor\) thường được dùng để chỉ phần nguyên của số thực \(x\), tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\). Tuy nhiên, ở đây chúng ta có một ma trận các số phức, và kí hiệu \(\left\lfloor \cdot \right\rfloor\) không được định nghĩa cho ma trận số phức. Có lẽ đây là một lỗi đánh máy hoặc một cách diễn đạt không chuẩn xác.

Nếu ta giả sử rằng kí hiệu \(\left\lfloor \cdot \right\rfloor\) được áp dụng cho từng phần tử của ma trận, và chúng ta muốn tìm phần nguyên của từng thành phần (phần thực và phần ảo), thì cách tiếp cận sẽ như sau:

* \(\left\lfloor 1 + i \right\rfloor\): Phần nguyên của 1 là 1, phần nguyên của i là 0 (vì i = 0 + 1i). Do đó, ta có thể hiểu là 1 + 0i = 1.
* \(\left\lfloor 3 + 2i \right\rfloor\): Phần nguyên của 3 là 3, phần nguyên của 2i là 0 (vì 2i = 0 + 2i). Do đó, ta có thể hiểu là 3 + 0i = 3.
* \(\left\lfloor 1 - 2i \right\rfloor\): Phần nguyên của 1 là 1, phần nguyên của -2i là 0 (vì -2i = 0 - 2i). Do đó, ta có thể hiểu là 1 + 0i = 1.
* \(\left\lfloor 4 - 1 \right\rfloor = \left\lfloor 3 \right\rfloor = 3\).

Tuy nhiên, với cách hiểu như vậy, ta lại không thu được một trong các đáp án đã cho.

Nếu đề bài yêu cầu tính tổng các phần tử của ma trận, ta có:
(1 + i) + (3 + 2i) + (1 - 2i) + (4 - 1) = 1 + i + 3 + 2i + 1 - 2i + 3 = (1 + 3 + 1 + 3) + (1 + 2 - 2)i = 8 + i. Kết quả này cũng không trùng với bất kì đáp án nào.

Vì không có cách giải thích hợp lý nào dẫn đến một trong các đáp án được đưa ra, có thể kết luận rằng đề bài hoặc các đáp án có thể chứa lỗi. Do đó, không thể xác định đáp án chính xác dựa trên thông tin đã cho.

The rank of matrix A is found by performing elementary row operations to bring it to row echelon form. After performing the operations, the matrix has 3 non-zero rows. Therefore, the rank of matrix A is 3.

Để hạng của ma trận A bằng 3, định thức của nó phải bằng 0. Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản ma trận A:

1. R2 = R2 - 2*R1
2. R3 = R3 - 3*R1
3. R4 = R4 - 4*R1

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&1&3&3\\
0&0&m&{m + 3}
\end{array}} \right)\)

Tiếp tục biến đổi:

1. R3 = R3 - R2

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&m&{m + 3}
\end{array}} \right)\)

Tiếp tục biến đổi:

1. R4 = R4 - m*R3

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&0&{m + 3 - 4m}
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&0&{3 - 3m}
\end{array}} \right)\)

Để r(A) = 3, thì dòng cuối cùng phải là dòng số 0, tức là 3 - 3m = 0, suy ra m = 1.

Để r(A) = 1, tất cả các định thức con cấp 2 của A phải bằng 0. Xét các định thức con:

1. \(\begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k = \pm 1\)
2. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} = 1 - k = 0 \Rightarrow k = 1\)
3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\)

Nếu k = 1, ma trận A trở thành:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}} \right)\)

Trong trường hợp này, r(A) = 1.

Nếu k = -1, ma trận A trở thành:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{array}} \right)\)

Trong trường hợp này, r(A) > 1.

Vậy, chỉ có k = 1 thì r(A) = 1.

Vì hạng của họ M = {x, y, z, t} bằng 2, điều này có nghĩa là trong bốn vector này, chỉ có tối đa hai vector độc lập tuyến tính. Các vector còn lại có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vector độc lập này.

* Phương án 1: M sinh ra không gian 3 chiều. Sai, vì hạng của M bằng 2, M chỉ sinh ra không gian 2 chiều.
* Phương án 2: {2x} không là THTT của {x, y}. Sai, vì 2x chắc chắn là THTT của {x,y} (2x = 2*x + 0*y).
* Phương án 3: {x, y} ĐLTT. Sai, vì ta chỉ biết hạng của {x, y, z, t} là 2. Không thể kết luận {x, y} độc lập tuyến tính. Ví dụ, có thể x = ky với k là một số thực.
* Phương án 4: {x, y, x + z} PTTT. Đúng, vì hạng của M = {x, y, z, t} bằng 2, nên z có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x và y, tức là z = a*x + b*y. Do đó, x + z = (a+1)*x + b*y, suy ra x + z là tổ hợp tuyến tính của x và y. Vậy, tập {x, y, x + z} phụ thuộc tuyến tính.

Vậy, phương án đúng là {x, y, x + z} PTTT.