Cho \(M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2, 1 , 3 ) , ( 1 , 0, 3 ) }\) là tập sinh của không gian vecto V. Tim m để \({( 3, 1 , 6 ) , ( 1 ,2, m) }\) là cơ sở của V.

Câu 42:

Cho không gian vectơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không tổ hợp tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V.

Phương án 1: {x, y, 2x - 3y} chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều vì 2x - 3y là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Phương án 2: Tương tự, x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều.

Phương án 3: Xét tổ hợp tuyến tính a(x + y + z) + b(x - y) + c(x + 3y + 2z) = 0. Điều này tương đương với (a + b + c)x + (a - b + 3c)y + (a + 2c)z = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 0
a - b + 3c = 0
a + 2c = 0
Giải hệ này, ta được a = -2c, b = -c. Vậy các vector phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chỉ sinh ra không gian 2 chiều.

Phương án 4: {x + y, x - y, z} độc lập tuyến tính vì z không phải là tổ hợp tuyến tính của x và y, và x + y và x - y độc lập tuyến tính. Do đó, sinh ra một không gian 3 chiều, tức là V.

Câu 43:

Trong R₄ cho họ vecto \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }\). Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để họ vector M sinh ra không gian 3 chiều, thì họ vector M phải là hệ sinh của không gian 3 chiều, tức là M phải chứa 3 vector độc lập tuyến tính và các vector còn lại phải biểu diễn tuyến tính qua 3 vector đó.

Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 4 vector của M:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 1 & m & 2 \\
1 & 4 & m+2 & 2
\end{vmatrix}\)

Tính định thức này, ta được: \(-2m + 4\).

Hệ M sinh ra không gian 3 chiều khi và chỉ khi 4 vector này phụ thuộc tuyến tính, tức là định thức bằng 0.

\(-2m + 4 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Vậy, khi m = 2 thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Câu 44:

Trong không gian R3 cho không gian con \(F =< ( 1 , 0,1 ) ; ( 2, 3, −1 ) ; ( 5, 6, −1 ) >\) và \(x = ( 2, m, 3 ) \). Với giá trị của m thì \(x \in F\).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Không gian con F được sinh bởi các vector (1, 0, 1), (2, 3, -1), và (5, 6, -1). Ta cần tìm giá trị của m để vector x = (2, m, 3) thuộc F. Điều này có nghĩa là x phải là tổ hợp tuyến tính của các vector sinh của F.

Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho:

a(1, 0, 1) + b(2, 3, -1) + c(5, 6, -1) = (2, m, 3)

Điều này tương đương với hệ phương trình:

a + 2b + 5c = 2
3b + 6c = m
a - b - c = 3

Từ phương trình thứ hai, ta có b + 2c = m/3.
Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:

a = 3 + b + c
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + c + 2b + 5c = 2
3b + 6c = -1

Vậy m/3 = -1, suy ra m = -3. Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = -3. Ta kiểm tra lại.
Ta thấy vector (5, 6, -1) = 2(2,3,-1) + (1,0,1). Vậy (5,6,-1) có thể bỏ đi.
Ta giải hệ:
a + 2b = 2
3b = m
a - b = 3

Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:
a = 3 + b
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + 2b = 2
3b = -1
Vậy b = -1/3
Suy ra m = 3b = -1
Vậy m = -1.

Câu 45:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì {x, y, z, t} là tập sinh của V và {x, y} là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là z và t có thể biểu diễn được qua x và y. Do đó, z và t là tổ hợp tuyến tính của {x, y}. Suy ra, t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Các phương án khác không đúng vì không nhất thiết x phải là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}, y không nhất thiết là tổ hợp tuyến tính của {z, t}, và {x + y, x − y, z, t} vẫn có thể sinh ra V vì x và y độc lập tuyến tính, và z, t có thể biểu diễn qua x và y.

Câu 46:

Cho họ vecto M = {x, y, z, t} biết x, y, z là họ độc lập tuyến tính cực đại. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại nên không gian sinh bởi M có số chiều là 3. Vectơ t phải biểu diễn được qua x, y, z (t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z). Do đó M phụ thuộc tuyến tính. Vậy các đáp án M sinh ra không gian 2 chiều, M độc lập tuyến tính và x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t} đều sai.

Câu 47:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Lời giải: