Trong R4 cho họ vecto \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }\). Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Câu 44:

Trong không gian R3 cho không gian con \(F =< ( 1 , 0,1 ) ; ( 2, 3, −1 ) ; ( 5, 6, −1 ) >\) và \(x = ( 2, m, 3 ) \). Với giá trị của m thì \(x \in F\).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Không gian con F được sinh bởi các vector (1, 0, 1), (2, 3, -1), và (5, 6, -1). Ta cần tìm giá trị của m để vector x = (2, m, 3) thuộc F. Điều này có nghĩa là x phải là tổ hợp tuyến tính của các vector sinh của F.

Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho:

a(1, 0, 1) + b(2, 3, -1) + c(5, 6, -1) = (2, m, 3)

Điều này tương đương với hệ phương trình:

a + 2b + 5c = 2
3b + 6c = m
a - b - c = 3

Từ phương trình thứ hai, ta có b + 2c = m/3.
Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:

a = 3 + b + c
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + c + 2b + 5c = 2
3b + 6c = -1

Vậy m/3 = -1, suy ra m = -3. Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = -3. Ta kiểm tra lại.
Ta thấy vector (5, 6, -1) = 2(2,3,-1) + (1,0,1). Vậy (5,6,-1) có thể bỏ đi.
Ta giải hệ:
a + 2b = 2
3b = m
a - b = 3

Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:
a = 3 + b
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + 2b = 2
3b = -1
Vậy b = -1/3
Suy ra m = 3b = -1
Vậy m = -1.

Câu 45:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vector V, và {x, y} là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y, z, t}. Hơn nữa, vì {x, y} là độc lập tuyến tính cực đại trong M, thì z và t phải là tổ hợp tuyến tính của {x, y}. Do đó, bất kỳ vector nào trong V cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y}.

Xét các phương án:

Phương án 1: x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}. Sai, vì x và y độc lập tuyến tính, nên x không thể biểu diễn qua y, z, t (z, t lại biểu diễn qua x, y)
Phương án 2: {x + y, x − y, z, t} không sinh ra V. Sai, vì x + y và x - y vẫn tạo ra không gian sinh bởi x, y. Mà x, y, z, t sinh ra V, nên {x + y, x − y, z, t} vẫn sinh ra V
Phương án 3: y là tổ hợp tuyến tính của {z, t}. Sai, vì z và t là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, y không thể biểu diễn qua z, t.
Phương án 4: t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Đúng, vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại, nên mọi vector khác trong V (trong đó có z và t) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {x, y}. Do đó t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Thực tế, t chỉ là tổ hợp tuyến tính của {x, y}.

Câu 46:

Cho họ vecto M = {x, y, z, t} biết x, y, z là họ độc lập tuyến tính cực đại. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì x, y, z là hệ độc lập tuyến tính cực đại, nên t phải biểu diễn được qua x, y, z. Do đó hệ M = {x, y, z, t} là hệ sinh của không gian mà x, y, z sinh ra (không gian 3 chiều). Vì t biểu diễn được qua x, y, z nên M phụ thuộc tuyến tính, do đó đáp án M độc lập tuyến tính sai.

x không thể biểu diễn được qua y, z, t vì nếu x biểu diễn được qua y, z, t thì x biểu diễn được qua y, z (do t biểu diễn được qua x, y, z). Điều này mâu thuẫn với giả thiết x, y, z độc lập tuyến tính. Vậy đáp án x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t} là sai.

M sinh ra không gian 3 chiều chứ không phải 2 chiều, vậy đáp án M sinh ra không gian 2 chiều là sai.

Vậy đáp án đúng là 3 câu kia đều sai.

Câu 47:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để M là tập sinh của R^4 thì M phải là một cơ sở của R^4. Điều này xảy ra khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các vector trong M khác 0.
Ta lập ma trận A có các hàng là các vector trong M:

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & m \\
3 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\)

Tính định thức của A:

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
R2 = R2 - 2R1, R3 = R3 - 3R1, R4 = R4 - 3R1

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & -1 & -2 & m-3 \\
0 & -2 & -1 & -3
\end{pmatrix}
\)
R3 = R3 - R2, R4 = R4 - 2R2
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & -3 & -7
\end{pmatrix}
\)
R4 = R4 - R3
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & 0 & -7-(m-5)
\end{pmatrix}
\)

Định thức của A là: det(A) = 1 * (-1) * (-3) * (-7 - m + 5) = 3 * (-2 - m)

Để M là tập sinh của R^4, det(A) phải khác 0. Tức là: 3 * (-2 - m) != 0 => -2 - m != 0 => m != -2

Vậy, m phải khác -2.

Câu 48:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(V = \langle (1, 1, 1), (2, -1, 3), (1, 0, 1) \rangle\). Điều này có nghĩa là V là không gian sinh bởi các vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1). Để \(x = (4, 3, m) \notin V\), x không thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ sinh của V.

Xét xem ba vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1) có độc lập tuyến tính hay không:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 0) - 2(1 - 0) + 1(3 - (-1)) = -1 - 2 + 4 = 1 \ne 0\)

Vì định thức khác 0, ba vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của \(\mathbb{R}^3\). Do đó, mọi vectơ trong \(\mathbb{R}^3\) đều thuộc V.

Vậy, không có giá trị m nào để \(x = (4, 3, m) \notin V\). Do đó, đáp án là \(\not \exists m\).

Câu 49:

Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là ( 3,1 ,5 )^T. Tìm tọa độ của x trong cơ sở \(u, u + v, u + v + w.\)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 50:

Trong R² cho hai cơ sở: \(B = {( 1 , 0 ) , ( 1 ,1 ) }\) và \(F = {( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) }\). Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở B là (2; 3). Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 1:

Cho A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ { - 3}&1&0\\ 2&1&3 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\).Tính det(3AB)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 2:

Cho hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.\). Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ.