Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Để tìm giá trị của m sao cho x không thuộc V, ta cần kiểm tra xem x có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong V hay không. Nếu không biểu diễn được, thì x không thuộc V.

Ta có V = <(1, 1, 1), (2, -1, 3), (1, 0, 1)> và x = (4, 3, m).
Giả sử x thuộc V, tức là tồn tại các số a, b, c sao cho:
(4, 3, m) = a(1, 1, 1) + b(2, -1, 3) + c(1, 0, 1)

Điều này tương đương với hệ phương trình:
1) a + 2b + c = 4
2) a - b = 3
3) a + 3b + c = m

Từ (2) suy ra a = b + 3. Thay vào (1) và (3):
1) (b + 3) + 2b + c = 4 => 3b + c = 1
3) (b + 3) + 3b + c = m => 4b + c + 3 = m

Từ 3b + c = 1 suy ra c = 1 - 3b. Thay vào 4b + c + 3 = m:
4b + (1 - 3b) + 3 = m
b + 4 = m
=> b = m - 4

Khi đó, c = 1 - 3(m - 4) = 1 - 3m + 12 = 13 - 3m
và a = b + 3 = m - 4 + 3 = m - 1

Vậy, với mọi giá trị của m, ta đều có thể tìm được a, b, c thỏa mãn x là tổ hợp tuyến tính của các vector trong V.
Do đó, x thuộc V với mọi m. Vậy, không tồn tại m để x không thuộc V.

Gọi x là vector cần tìm. Theo đề bài, ta có: x = 3u + v + 5w.
Ta cần biểu diễn x theo cơ sở {u, u+v, u+v+w}. Giả sử x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)u + (b+c)v + c*w.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 3
b + c = 1
c = 5
Giải hệ phương trình trên, ta được: c = 5, b = 1 - c = 1 - 5 = -4, a = 3 - b - c = 3 - (-4) - 5 = 3 + 4 - 5 = 2.
Vậy tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (2, -4, 5)^T.

Gọi x là vector cần tìm. Vì tọa độ của x trong cơ sở B = {(1, 0), (1, 1)} là (2, 3), ta có: x = 2*(1, 0) + 3*(1, 1) = (2, 0) + (3, 3) = (5, 3).

Gọi (a, b) là tọa độ của x trong cơ sở F = {(1, 1), (1, 0)}. Khi đó: x = a*(1, 1) + b*(1, 0) = (a + b, a).

Ta có hệ phương trình:
a + b = 5
a = 3

Suy ra a = 3 và b = 5 - 3 = 2. Vậy tọa độ của x trong cơ sở F là (3, 2).

Ta có det(A) = 1*(1*3 - 0*1) = 3 và det(B) = 2*(1*1 - 4*0) = 2.
Vậy det(3AB) = 3^3 * det(A) * det(B) = 27 * 3 * 2 = 162.

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\
{x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0
\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: {x_3} + 2{x_4} = 0 \Rightarrow {x_3} = - 2{x_4}
Thay vào phương trình thứ nhất, ta có: {x_1} + {x_2} - 4{x_4} + 3{x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} - {x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} = - {x_2} + {x_4}
Vậy nghiệm của hệ có dạng: \(( - {x_2} + {x_4},{x_2}, - 2{x_4},{x_4}) = {x_2}( - 1,1,0,0) + {x_4}(1,0, - 2,1)\)
Cơ sở của không gian nghiệm là {V₁ = (-1, 1, 0, 0), V₂ = (1, 0, -2, 1)} hoặc các tổ hợp tuyến tính của chúng. Kiểm tra các đáp án:
Đáp án 1: V₁ = (1, 0, -2, 1). Thiếu vector.
Đáp án 2: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (-2, 2, 0, 0), V₃ = (0, 1, -2, 1). V₃ không thuộc không gian nghiệm vì 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0, tuy nhiên hệ này phụ thuộc tuyến tính vì V₂ = -2*(-1, 1, 0, 0) và (0, 1, -2, 1) không phải là tổ hợp tuyến tính của V₁ và V₂.
Đáp án 3: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (1, 1, 1, 0). V₂ không thuộc không gian nghiệm vì 1 + 1 + 2*1 + 3*0 = 4 != 0.
Đáp án 4: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (0, 1, -2, 1). Kiểm tra V₂: 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0. Vậy V₂ thuộc không gian nghiệm. Hơn nữa, V₁ và V₂ độc lập tuyến tính.
Vậy đáp án đúng là đáp án 4.