Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)

Gọi x là vector cần tìm. Theo đề bài, ta có: x = 3u + v + 5w.
Ta cần biểu diễn x theo cơ sở {u, u+v, u+v+w}. Giả sử x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)u + (b+c)v + c*w.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 3
b + c = 1
c = 5
Giải hệ phương trình trên, ta được: c = 5, b = 1 - c = 1 - 5 = -4, a = 3 - b - c = 3 - (-4) - 5 = 3 + 4 - 5 = 2.
Vậy tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (2, -4, 5)^T.

Gọi x là vector cần tìm. Vì tọa độ của x trong cơ sở B = {(1, 0), (1, 1)} là (2, 3), ta có: x = 2*(1, 0) + 3*(1, 1) = (2, 0) + (3, 3) = (5, 3).

Gọi (a, b) là tọa độ của x trong cơ sở F = {(1, 1), (1, 0)}. Khi đó: x = a*(1, 1) + b*(1, 0) = (a + b, a).

Ta có hệ phương trình:
a + b = 5
a = 3

Suy ra a = 3 và b = 5 - 3 = 2. Vậy tọa độ của x trong cơ sở F là (3, 2).

Ta có det(A) = 1*(1*3 - 0*1) = 3 và det(B) = 2*(1*1 - 4*0) = 2.
Vậy det(3AB) = 3^3 * det(A) * det(B) = 27 * 3 * 2 = 162.

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\
{x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0
\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: {x_3} + 2{x_4} = 0 \Rightarrow {x_3} = - 2{x_4}
Thay vào phương trình thứ nhất, ta có: {x_1} + {x_2} - 4{x_4} + 3{x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} - {x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} = - {x_2} + {x_4}
Vậy nghiệm của hệ có dạng: \(( - {x_2} + {x_4},{x_2}, - 2{x_4},{x_4}) = {x_2}( - 1,1,0,0) + {x_4}(1,0, - 2,1)\)
Cơ sở của không gian nghiệm là {V₁ = (-1, 1, 0, 0), V₂ = (1, 0, -2, 1)} hoặc các tổ hợp tuyến tính của chúng. Kiểm tra các đáp án:
Đáp án 1: V₁ = (1, 0, -2, 1). Thiếu vector.
Đáp án 2: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (-2, 2, 0, 0), V₃ = (0, 1, -2, 1). V₃ không thuộc không gian nghiệm vì 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0, tuy nhiên hệ này phụ thuộc tuyến tính vì V₂ = -2*(-1, 1, 0, 0) và (0, 1, -2, 1) không phải là tổ hợp tuyến tính của V₁ và V₂.
Đáp án 3: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (1, 1, 1, 0). V₂ không thuộc không gian nghiệm vì 1 + 1 + 2*1 + 3*0 = 4 != 0.
Đáp án 4: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (0, 1, -2, 1). Kiểm tra V₂: 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0. Vậy V₂ thuộc không gian nghiệm. Hơn nữa, V₁ và V₂ độc lập tuyến tính.
Vậy đáp án đúng là đáp án 4.

Đặt z = -1 + i√3. Ta có thể viết z dưới dạng lượng giác: z = r(cosθ + isinθ), với r = |z| = √((-1)^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = 2. Góc θ thỏa mãn cosθ = -1/2 và sinθ = √3/2. Vậy θ = 2π/3.
Do đó, z = 2(cos(2π/3) + isin(2π/3)).
Khi đó, z^n = 2^n(cos(2nπ/3) + isin(2nπ/3)). Để z^n là một số thực, phần ảo của nó phải bằng 0, tức là sin(2nπ/3) = 0.
Điều này xảy ra khi 2nπ/3 = kπ, với k là một số nguyên. Suy ra, 2n/3 = k, hay n = 3k/2. Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 2, suy ra n = 3.
Vậy, số nguyên dương n nhỏ nhất để (-1 + i√3)^n là một số thực là n = 3.