Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để \({( - 1 + i\sqrt 3 )^n}\) là một số thực:

n = 1

Không tồn tại n

n = 3

n = 6.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Đặt z = -1 + i√3. Ta có thể viết z dưới dạng lượng giác: z = r(cosθ + isinθ), với r = |z| = √((-1)^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = 2. Góc θ thỏa mãn cosθ = -1/2 và sinθ = √3/2. Vậy θ = 2π/3. Do đó, z = 2(cos(2π/3) + isin(2π/3)). Khi đó, z^n = 2^n(cos(2nπ/3) + isin(2nπ/3)). Để z^n là một số thực, phần ảo của nó phải bằng 0, tức là sin(2nπ/3) = 0. Điều này xảy ra khi 2nπ/3 = kπ, với k là một số nguyên. Suy ra, 2n/3 = k, hay n = 3k/2. Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 2, suy ra n = 3. Vậy, số nguyên dương n nhỏ nhất để (-1 + i√3)^n là một số thực là n = 3.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tập hợp tất cả các số phức |z + 2i| = |z - 2i| trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có |z + 2i| = |z - 2i| tương đương |x + (y+2)i| = |x + (y-2)i|. Điều này tương đương với √(x² + (y+2)²) = √(x² + (y-2)²). Bình phương hai vế, ta được x² + (y+2)² = x² + (y-2)². Khai triển và rút gọn, ta có y² + 4y + 4 = y² - 4y + 4, suy ra 8y = 0, hay y = 0. Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn là z = x + 0i = x, với x ∈ R, tức là trục Ox.

Câu 5:

Tìm argument \(\varphi \) của số phức \(z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\(z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}} = \frac{{2(\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}}{{\sqrt 2 ( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }})}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\frac{{\cos ( - \frac{\pi }{3}) + i\sin ( - \frac{\pi }{3})}}{{\cos (\frac{{3\pi }}{4}) + i\sin (\frac{{3\pi }}{4})}}\)
\(= \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)

Vậy argument của z là \(\varphi = \frac{{ - 13\pi }}{{12}}\)

Câu 6:

Giải \({z^3} - i = 0\) trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có phương trình: z^3 = i. Đổi i về dạng lượng giác: i = cos(\(\frac{\pi}{2}\)) + isin(\(\frac{\pi}{2}\)).\nKhi đó, nghiệm của phương trình là z_k = \(\sqrt[3]{1}\) * e^(i * (\(\frac{\pi}{6}\) + k*\(\frac{2\pi}{3}\))), với k = 0, 1, 2.\nVới k = 0, ta có z_0 = e^(i*\(\frac{\pi}{6}\)).\nVới k = 1, ta có z_1 = e^(i*(\(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{2\pi}{3}\))) = e^(i*\(\frac{5\pi}{6}\)).\nVới k = 2, ta có z_2 = e^(i*(\(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{4\pi}{3}\))) = e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\)) = e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)).\nVậy nghiệm của phương trình là z_0 = e^(i*\(\frac{\pi}{6}\)), z_1 = e^(i*\(\frac{5\pi}{6}\)), z_2 = e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)). Tuy nhiên, đáp án thứ 4 có z_2 = e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\)) mà e^(i*\(\frac{9\pi}{6}\))=e^(i*\(\frac{3\pi}{2}\)). Vậy đáp án 4 đúng

Câu 7:

Tập hợp tất cả các số phức \({e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi );0 \le \varphi \le \pi \) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(z = {e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) với \(0 \le \varphi \le \pi \), suy ra:

\(\left| z \right| = \left| {{e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )} \right| = {e^2}\) (vì \(\left| {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right| = 1\))

Vậy các số phức \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \({e^2}\).

Vì \(0 \le \varphi \le \pi \) nên các số phức này chỉ chiếm nửa đường tròn phía trên.

Câu 8:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm argument của số phức \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}\), trước hết ta cần đưa \(z\) về dạng \(a + bi\). Ta có: \(z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}} = \frac{{(2 + i\sqrt {12} )(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} = \frac{{2 - 2i + i\sqrt {12} - i^2\sqrt {12} }}{{1 - i^2}} = \frac{{2 + \sqrt {12} + i(\sqrt {12} - 2)}}{2} = \frac{{2 + 2\sqrt 3 + i(2\sqrt 3 - 2)}}{2} = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)\) Vậy \(z = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)\). Gọi \(\varphi \) là argument của \(z\). Khi đó: \(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 - 1)}}{{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}} = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \) Ta biết rằng \(\tan \frac{\pi }{{12}} = 2 - \sqrt 3 \). Do đó, \(\varphi = \frac{\pi }{{12}}\).

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức \(\left| {z + 4i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải: