Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{3}}&{\sin \frac{\pi }{3}}\\ { - \sin \frac{\pi }{3}}&{\cos \frac{\pi }{3}} \end{array}} \right],X \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Vecto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \({\frac{\pi }{3}}\)

Vecto X quay cùng chiều kim đồng hồ một góc bằng \({\frac{\pi }{3}}\)

Vecto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \({\frac{\pi }{6}}\)

Ba câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ma trận A là ma trận quay với góc \(\frac{\pi}{3}\). Khi nhân ma trận quay A với vector X, vector X sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \(\frac{\pi}{3}\). Vì vậy, đáp án đúng là "Vecto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \({\frac{\pi }{3}}\)".

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&5&2\\ 3&7&4 \end{array}} \right]\) và M là tập tất cả các phần tử của A^-1. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm ma trận nghịch đảo A⁻¹ của ma trận A, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức của A: det(A) = 1*(5*4 - 2*7) - 2*(2*4 - 2*3) + 1*(2*7 - 5*3) = 1*(20 - 14) - 2*(8 - 6) + 1*(14 - 15) = 6 - 4 - 1 = 1. Vì det(A) ≠ 0 nên A khả nghịch.

2. Tìm ma trận phụ hợp (adjugate) của A, là chuyển vị của ma trận các cofactor của A:
- C₁₁ = (5*4 - 2*7) = 6
- C₁₂ = -(2*4 - 2*3) = -2
- C₁₃ = (2*7 - 5*3) = -1
- C₂₁ = -(2*4 - 1*7) = -1
- C₂₂ = (1*4 - 1*3) = 1
- C₂₃ = -(1*7 - 2*3) = -1
- C₃₁ = (2*2 - 1*5) = -1
- C₃₂ = -(1*2 - 1*2) = 0
- C₃₃ = (1*5 - 2*2) = 1

Ma trận cofactor là:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-2&-1\\
-1&1&-1\\
-1&0&1
\end{array}} \right]\)

Ma trận phụ hợp là chuyển vị của ma trận cofactor:
adj(A) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

3. Tính ma trận nghịch đảo: A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A) = 1 * adj(A) = adj(A).
Vậy A⁻¹ = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

M là tập tất cả các phần tử của A⁻¹. Xem xét các phương án:

- Phương án 1: { -1, 0, 2} ⊂ M: Số 2 không thuộc M.
- Phương án 2: {6, -2, 2} ⊂ M: Số 2 không thuộc M.
- Phương án 3: {6, -1, 0} ⊂ M: 6, -1, và 0 đều thuộc M. Vậy phương án này đúng.
- Phương án 4: {6, 1, 3} ⊂ M: Số 3 không thuộc M.

Câu 14:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,2,0)^T.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1, 2, 0)^T.

Ta có n = 3, z = cos(2π/3) - i*sin(2π/3) = -1/2 - i*(√3)/2. Ma trận Fourier F₃ là:

F₃ =

| 1 1 1 |

| 1 z z² |

| 1 z² z⁴ |

Với z = -1/2 - i*(√3)/2, ta có z² = (-1/2 - i*(√3)/2)² = 1/4 - 3/4 + i*(√3)/2 = -1/2 + i*(√3)/2. z⁴ = z³ * z = z = -1/2 - i*(√3)/2. Vì z³ =1.

Vậy:

F₃ =

| 1 1 1 |

| 1 (-1/2 - i*(√3)/2) (-1/2 + i*(√3)/2) |

| 1 (-1/2 + i*(√3)/2) (-1/2 - i*(√3)/2) |

Biến đổi Fourier của X là F₃ * X:

| 1 1 1 | | 1 |

| 1 z z² | * | 2 |

| 1 z² z | | 0 |

=

| 1 + 2 + 0 |

| 1 + 2*(-1/2 - i*(√3)/2) + 0 |

| 1 + 2*(-1/2 + i*(√3)/2) + 0 |

=

| 3 |

| 1 - 1 - i√3 |

| 1 - 1 + i√3 |

=

| 3 |

| -i√3 |

| i√3 |

Vì vậy, biến đổi Fourier của X là (3, -i√3, i√3)^T. Hay (3, 0 - i√3, 0 + i√3)^T
Đáp án đúng nhất là câu (3, 1/2 - i(√3)/2, 1/2 + i(√3)/2)^T. Đáp án này có lẽ đã bị lỗi số học khi tính toán.
Tuy nhiên, so sánh với các đáp án khác, đáp án gần đúng nhất là đáp án số 3.

Câu 15:

\(\infty -\) chuẩn của ma trận là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng Hàng. Tìm \(\infty -\) chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&7 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm \(\infty -\) chuẩn của ma trận \(A\), ta tính tổng trị tuyệt đối của các phần tử trên mỗi hàng, sau đó chọn giá trị lớn nhất trong các tổng này.

Hàng 1: \(|5| + |-1| + |2| = 5 + 1 + 2 = 8\)
Hàng 2: \(|3| + |7| + |1| = 3 + 7 + 1 = 11\)
Hàng 3: \(|2| + |-5| + |7| = 2 + 5 + 7 = 14\)

Giá trị lớn nhất trong các tổng này là 14. Vậy, \(\infty -\) chuẩn của ma trận \(A\) là 14.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6\\ 0&2 \end{array}} \right]\). Tính A¹⁰⁰.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6\\ 0&2 \end{array}} \right] = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Đặt \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Khi đó \(A = 2B\). Ta có \(B^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&6\\ 0&1 \end{array}} \right]\). \(B^3 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&6\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&9\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Tổng quát, \(B^n = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3n}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Do đó, \(B^{100} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{300}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Vậy \(A^{100} = (2B)^{100} = 2^{100}B^{100} = {2^{100}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{300}\\ 0&1 \end{array}} \right]\).

Câu 17:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 2&3&5\\ 4&1&6 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Chuẩn Frobenius của ma trận A, ký hiệu là \(||A||_F\), được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của ma trận A. Hoặc, chuẩn Frobenius của A bằng căn bậc hai của vết (trace) của ma trận A^TA. Trong trường hợp này, ta có thể tính trực tiếp bằng cách tính tổng bình phương các phần tử của A.

\(||A||_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2}\)

Với ma trận A đã cho:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{-1}\\
2&3&5\\
4&1&6
\end{array}} \right).\)

Tính chuẩn Frobenius:

\(||A||_F^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 4^2 + 1^2 + 6^2 = 1 + 4 + 1 + 4 + 9 + 25 + 16 + 1 + 36 = 97\)

Vậy, \(||A||_F = \sqrt{97}\). Tuy nhiên câu hỏi yêu cầu tính A^T.A. Do đó ta sẽ tính vết của ma trận đó. Vết của A^T.A bằng tổng bình phương các phần tử của A, như đã tính ở trên, bằng 97.

Câu 18:

Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1&{ - 1}\\ 4&1&0&3\\ 2&3&{ - 1}&{ - 4}\\ 6&4&0&3 \end{array}} \right]\)

Lời giải: