Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{3}}&{\sin \frac{\pi }{3}}\\ { - \sin \frac{\pi }{3}}&{\cos \frac{\pi }{3}} \end{array}} \right],X \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Để tìm ma trận nghịch đảo A^-1 của ma trận A, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức của A:

\(\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
2&5&2\\
3&7&4
\end{array}} \right| = 1(5.4 - 2.7) - 2(2.4 - 2.3) + 1(2.7 - 5.3) = 1(20 - 14) - 2(8 - 6) + 1(14 - 15) = 6 - 4 - 1 = 1\)

2. Tìm ma trận phụ hợp (adjoint) của A:

Tìm các phần bù đại số:

\(C_{11} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 7&4 \end{array}} \right| = 20 - 14 = 6\)

\(C_{12} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 3&4 \end{array}} \right| = -(8 - 6) = -2\)

\(C_{13} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 3&7 \end{array}} \right| = 14 - 15 = -1\)

\(C_{21} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 7&4 \end{array}} \right| = -(8 - 7) = -1\)

\(C_{22} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 3&4 \end{array}} \right| = 4 - 3 = 1\)

\(C_{23} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&7 \end{array}} \right| = -(7 - 6) = -1\)

\(C_{31} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 5&2 \end{array}} \right| = 4 - 5 = -1\)

\(C_{32} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right| = -(2 - 2) = 0\)

\(C_{33} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&5 \end{array}} \right| = 5 - 4 = 1\)

Ma trận phụ hợp của A là:

\(adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

3. Tính ma trận nghịch đảo:

\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

Vậy \(M = \left\{ {6, -1, -1, -2, 1, 0, -1, -1, 1} \right\}\)

Xét các phương án:

A. \(\left\{ { - 1,0,2} \right\} \subset M\): Đúng vì -1, 0 ∈ M nhưng 2 ∉ M.

B. \(\left\{ {6,-2,2} \right\} \subset M\): Sai vì 2 ∉ M.

C. \(\left\{ { 6,-1,0} \right\} \subset M\): Đúng vì 6, -1, 0 ∈ M.

D. \(\left\{ {6,1,3} \right\} \subset M\): Sai vì 3 ∉ M.

Vậy, khẳng định đúng là C.

Ta có \(n = 3\) và \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ma trận Fourier là:

\({F_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&{{z^4}}
\end{array}} \right)\)

Vectơ \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
0
\end{array}} \right)\).

Phép biến đổi Fourier của vecto X là:

\({F_3}.X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
0
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + 2 + 0}\\
{1 + 2z + 0}\\
{1 + 2{z^2} + 0}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{1 + 2.( - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}\\
{1 + 2.( - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{ - i\sqrt 3 }\\
{i\sqrt 3 }
\end{array}} \right)\)

\(= {(3,0 - i\sqrt 3 ,0 + i\sqrt 3 )^T}\). Không có đáp án nào đúng.

Ta có: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n2&6\\
0&2
\end{array}} \right] = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\
0&1
\end{array}} \right]\)

Đặt \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\
0&1
\end{array}} \right]\)

Khi đó: \({B^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\
0&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&6\\
0&1
\end{array}} \right]\)

\({B^3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&6\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\
0&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&9\\
0&1
\end{array}} \right]\)

Suy ra \({B^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{3n}\\
0&1
\end{array}} \right]\)

Do đó: \({B^{100}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{300}\\
0&1
\end{array}} \right]\)

Ta có: \({A^{100}} = {2^{100}}{B^{100}} = {2^{100}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{300}\\
0&1
\end{array}} \right]\)