Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6\\ 0&2 \end{array}} \right]\). Tính A¹⁰⁰.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^{100}}}&{300}\\ 0&{{2^{100}}} \end{array}} \right]\)

Các câu kia sai

\({2^{100}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{100}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

\({2^{100}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{300}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n2&6\\ 0&2 \end{array}} \right] = 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Đặt \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Khi đó: \({B^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&6\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

\({B^3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&6\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&3\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&9\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Suy ra \({B^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{3n}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Do đó: \({B^{100}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{300}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

Ta có: \({A^{100}} = {2^{100}}{B^{100}} = {2^{100}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n1&{300}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 2&3&5\\ 4&1&6 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Chuẩn Frobenius của ma trận A, ký hiệu là \(||A||_F\), được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của ma trận A. Hoặc, chuẩn Frobenius của A bằng căn bậc hai của vết (trace) của ma trận A^TA. Trong trường hợp này, ta có thể tính trực tiếp bằng cách tính tổng bình phương các phần tử của A.

\(||A||_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2}\)

Với ma trận A đã cho:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{-1}\\
2&3&5\\
4&1&6
\end{array}} \right).\)

Tính chuẩn Frobenius:

\(||A||_F^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 4^2 + 1^2 + 6^2 = 1 + 4 + 1 + 4 + 9 + 25 + 16 + 1 + 36 = 97\)

Vậy, \(||A||_F = \sqrt{97}\). Tuy nhiên câu hỏi yêu cầu tính A^T.A. Do đó ta sẽ tính vết của ma trận đó. Vết của A^T.A bằng tổng bình phương các phần tử của A, như đã tính ở trên, bằng 97.

Câu 18:

Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1&{ - 1}\\ 4&1&0&3\\ 2&3&{ - 1}&{ - 4}\\ 6&4&0&3 \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo cột 3 (vì có nhiều số 0). Ta có:

det(A) = 1 * C_{13} + 0 * C_{23} + (-1) * C_{33} + 0 * C_{43}

Trong đó C_{ij} là các phần bù đại số.

C_{13} = (-1)^(1+3) * det(B), với B là ma trận con bỏ đi dòng 1 và cột 3:
B = [[4, 1, 3], [2, 3, -4], [6, 4, 3]]
det(B) = 4*(3*3 - (-4)*4) - 1*(2*3 - (-4)*6) + 3*(2*4 - 3*6) = 4*(9+16) - (6+24) + 3*(8-18) = 4*25 - 30 + 3*(-10) = 100 - 30 - 30 = 40

C_{33} = (-1)^(3+3) * det(C), với C là ma trận con bỏ đi dòng 3 và cột 3:
C = [[3, 4, -1], [4, 1, 3], [6, 4, 3]]
det(C) = 3*(1*3 - 3*4) - 4*(4*3 - 3*6) + (-1)*(4*4 - 1*6) = 3*(3-12) - 4*(12-18) - (16-6) = 3*(-9) - 4*(-6) - 10 = -27 + 24 - 10 = -13

Vậy det(A) = 1 * 40 + (-1) * (-13) = 40 + 13 = 53

Định thức của ma trận A là 53.

Câu 19:

Tìm định thức của ma trận X thỏa mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right].X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&{ - 1}\\ 3&5&2 \end{array}} \right].\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\), B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&-1\\ 3&5&2 \end{array}} \right]\). Ta có AX = B. Suy ra det(AX) = det(B).
Ta có det(A) = 1 (vì A là ma trận tam giác trên). Do đó det(AX) = det(A)det(X) = det(X).
Tính det(B) = 1*(2*2 - (-1)*5) - 1*(1*2 - (-1)*3) + 1*(1*5 - 2*3) = 1*(4+5) - 1*(2+3) + 1*(5-6) = 9 - 5 - 1 = 3.
Vậy det(X) = det(B) = 3.

Câu 20:

Cho ma trận A = (a_jk), cấp 3, biết a_jk = i^j+k, với i là đơn vị ảo. Tính det(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A như sau:
A = \(\begin{pmatrix} i^2 & i^3 & i^4 \\ i^3 & i^4 & i^5 \\ i^4 & i^5 & i^6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} -1 & -i & 1 \\ -i & 1 & i \\ 1 & i & -1 \end{pmatrix}\)
Tính định thức của ma trận A:
det(A) = -1*(1*(-1) - i*i) - (-i)*((-i)*(-1) - i*1) + 1*((-i)*i - 1*1) = -1*(-1 + 1) + i*(i + i) + 1* (1 - 1) = 0 + 2i^2 + 0 = -2

Nhận thấy các cột của ma trận A tỉ lệ với nhau, cụ thể cột 1 và cột 3 đối nhau, do đó định thức của ma trận A bằng 0.
Hoặc: Cột 2 nhân với i sẽ ra cột 3, cột 1 nhân với i sẽ ra cột 2, do đó các cột tỉ lệ với nhau, định thức bằng 0.

Vậy det(A) = 0.

Câu 21:

Tìm m để det( A) = 0 với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A và giải phương trình det(A) = 0 theo m.

Ma trận A được cho là:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
3&2&1&0\\
5&6&{ - 1}&2\\
6&3&0&m
\end{array}} \right]\)

Để tính định thức, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta sẽ sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức.

Thực hiện các phép biến đổi sau:

R2 = R2 - 3R1

R3 = R3 - 5R1

R4 = R4 - 6R1

Ta được ma trận mới:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
0&{ - 1}&{ - 2}&3\\
0&1&{ - 6}&7\\
0&{ - 3}&{ - 6}&{m + 6}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:

R3 = R3 + R2

R4 = R4 - 3R2

Ta được ma trận:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
0&{ - 1}&{ - 2}&3\\
0&0&{ - 8}&{10}\\
0&0&0&{m - 3}
\end{array}} \right]\)

Định thức của ma trận này là tích các phần tử trên đường chéo chính:

det(A) = 1 * (-1) * (-8) * (m - 3) = 8(m - 3)

Để det(A) = 0, ta có:

8(m - 3) = 0

m - 3 = 0

m = 3

Vậy, giá trị của m là 3.

Câu 22:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my - 7z = 4 \end{array} \right.\)

Lời giải: