Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my - 7z = 4 \end{array} \right.\)

\(m \ne 2\)

\(\not \exists m\)

3 câu kia đều sai

m = 2

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0 và các định thức con cũng phải bằng 0. Ta biến đổi hệ phương trình như sau: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my - 7z = 4 \end{array} \right.\) Từ phương trình (1) và (2), ta có: y + z = 3 => y = 3 - z Thay vào phương trình (1): x + 3 - z - 2z = 1 => x = 3z - 2 Thay x và y vào phương trình (3), ta có: 3(3z - 2) + m(3 - z) - 7z = 4 9z - 6 + 3m - mz - 7z = 4 (2 - m)z = 10 - 3m Để hệ có vô số nghiệm thì: \(\left\{ \begin{array}{l} 2 - m = 0\\ 10 - 3m = 0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ m = \frac{10}{3} \end{array} \right.\) Vì không tồn tại m thỏa mãn, vậy hệ phương trình không thể có vô số nghiệm. Do đó, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 23:

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa \(2x + y + z − 3t = 4\) .

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + {\rm{ }}z + {\rm{ }}t = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z + 4t = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 2z + 5t = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho là một hệ thuần nhất. Ta cần tìm nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình 2x + y + z - 3t = 4. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1) và (2) ta có: x + y + z + t = 0 2x + y + 3z + 4t = 0 => (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0 => -y + z + 2t = 0 => y = z + 2t Từ phương trình (1) và (3) ta có: x + y + z + t = 0 3x + 4y + 2z + 5t = 0 => (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0 => y - z + 2t = 0 => y = z - 2t Từ đó suy ra: z + 2t = z - 2t => 4t = 0 => t = 0 Vậy y = z Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0) Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4: 2(-2z) + z + z - 3(0) = 4 => -4z + 2z = 4 => -2z = 4 => z = -2 Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).

Câu 24:

Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3 \end{array} \right.\) Trừ phương trình thứ nhất nhân 2 cho phương trình thứ hai và phương trình thứ ba, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ \left( { - 3 - m} \right)z = 2{\rm{ }}\\ \left( {{m^2} - 1} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}1 \end{array} \right.\) Từ phương trình thứ hai, ta có \(z = \frac{2}{{ - 3 - m}}\). Thay vào phương trình thứ ba, ta có: \(\left( {{m^2} - 1} \right)\frac{2}{{ - 3 - m}} = m - 1\) \(\Leftrightarrow \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)2}}{{ - 3 - m}} = m - 1\) \(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{ - 3 - m}} - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2m + 2 + 3 + m}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{3m + 5}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\) Suy ra m = 1 hoặc \(m = - \frac{5}{3}\) Xét m = 1, ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + 2z = - 2 \end{array} \right.\) Từ (2) suy ra x = -3y. Thay vào (1) ta có z = -1 + 3y - 3y = -1. Thay vào (3), ta có: 0 + 2*(-1) = -2 (luôn đúng). Vậy hệ có vô số nghiệm. m = 1 không thỏa mãn. Xét \(m = - \frac{5}{3}\), ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \frac{8}{3}z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \frac{{34}}{9}z = - \frac{{14}}{3} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y = - \frac{8}{3}z{\rm{ }}\\ 2x + 6y = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3} \end{array} \right.\) Suy ra \( - \frac{8}{3}z = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3}\) \(\Leftrightarrow - 24z = - 34z - 42\) \(\Leftrightarrow 10z = - 42\) \(\Leftrightarrow z = - \frac{{21}}{5}\) Thay vào phương trình thứ 2: \(2x + 6y = - \frac{8}{3}.\left( { - \frac{{21}}{5}} \right) = \frac{{56}}{5}\) Thay vào phương trình thứ 1: \(x + 3y = - 1 + \frac{{21}}{5} = \frac{{16}}{5}\) Suy ra \(2x + 6y = \frac{{32}}{5}\), mâu thuẫn với \(2x + 6y = \frac{{56}}{5}\). Vậy hệ vô nghiệm khi \(m = - \frac{5}{3}\). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Vậy không có đáp án đúng.

Câu 25:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau là hệ Cramer \(\left\{ \begin{array}{l} 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{\rm{ }}\\ x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình là hệ Cramer khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là: \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&m\\ 3&2&{ - 1}\\ 1&2&{ - 3} \end{array}} \right)\) Tính định thức của ma trận A: \(\begin{array}{l} det(A) = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 2&{ - 3} \end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}\\ 1&{ - 3} \end{array}} \right| + m\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2\\ 1&2 \end{array}} \right|\\ = 2( - 6 + 2) - 3( - 9 + 1) + m(6 - 2)\\ = 2( - 4) - 3( - 8) + 4m\\ = - 8 + 24 + 4m\\ = 16 + 4m \end{array}\) Để hệ phương trình là hệ Cramer thì \(\det (A) \ne 0\), tức là \(16 + 4m \ne 0 \Rightarrow 4m \ne - 16 \Rightarrow m \ne - 4\). Vậy, hệ phương trình là hệ Cramer khi \(m \ne -4\).

Câu 26:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta xét định thức của hệ phương trình: D = \(\begin{vmatrix} 1 & m & m \\ m & 1 & m \\ m & m & 1 \end{vmatrix} = (1-m^2) - m(m - m^2) + m(m^2 - m) = 1 - m^2 - m^2 + m^3 + m^3 - m^2 = 2m^3 - 3m^2 + 1 = (m-1)^2(2m+1)\) . * Nếu D khác 0, tức là \(m \ne 1\) và \(m \ne -\frac{1}{2}\) thì hệ có nghiệm duy nhất. * Nếu m = 1, hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{array} \right.\) . Hệ này có vô số nghiệm, ví dụ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), ... * Nếu m = -1/2, hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 1 \\ - \frac{1}{2}x + y - \frac{1}{2}z = 1 \\ - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z = -\frac{1}{2} \end{array} \right.\) Nhân pt 1,2 với 2, pt 3 với -2 ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y - z = 2 \\ -x + 2y - z = 2 \\ x + y - 2z = 1 \end{array} \right.\) Cộng pt 2,3 ta được 3y - 3z = 3 => y - z = 1. Thay vào pt 1: 2x - 1 = 2 => x = 3/2. Thay vào pt 3: 3/2 + y - 2z = 1 => y - 2z = -1/2. Do đó z = 3/2. => y = 5/2. Vậy khi m = -1/2 hệ cũng có nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

Câu 27:

Tìm tất cả giá trị thực m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} + {\rm{ }}8z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{m^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }}} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}5 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì các phương trình phải tương đương nhau hoặc có dạng tỉ lệ. Ta thấy phương trình thứ hai gấp 2 lần phương trình thứ nhất. Vậy để hệ có vô số nghiệm thì \(m + 4 = 2\), suy ra \(m = -2\). Thay \(m = -2\) vào phương trình thứ ba, ta có \(3x + 6y + ((-2)^2 + 5)z = -2 + 5\), tức là \(3x + 6y + 9z = 3\), hay \(x + 2y + 3z = 1\), giống phương trình thứ nhất. Vậy \(m = -2\) là giá trị cần tìm.

Câu 28:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Với giá trị nào của số thực m thì \(mx + y + 3z, mx − 2y + z, x − y + z\) cũng là cơ sở?

Lời giải: