Tính hạng của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1&2&4\\ 2&2&3&5&7\\ 3&{ - 4}&5&2&{10}\\ 5&{ - 6}&7&6&{18} \end{array}} \right)\)

r(A) = 4

r(A) = 2

r(A) = 3

r(A) = 1

Trả lời:

Đáp án đúng: C

The rank of matrix A is found by performing elementary row operations to bring it to row echelon form. After performing the operations, the matrix has 3 non-zero rows. Therefore, the rank of matrix A is 3.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 34:

Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&3&4&1\\ 3&4&6&6\\ 4&4&{m + 4}&{m + 7} \end{array}} \right)\). Với giá trị nào của m r(A)=3

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hạng của ma trận A bằng 3, định thức của nó phải bằng 0. Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản ma trận A: 1. R2 = R2 - 2*R1 2. R3 = R3 - 3*R1 3. R4 = R4 - 4*R1 Ta được ma trận mới: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&2&{-1}\\ 0&1&3&3\\ 0&0&m&{m + 3} \end{array}} \right)\) Tiếp tục biến đổi: 1. R3 = R3 - R2 Ta được ma trận mới: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&2&{-1}\\ 0&0&1&4\\ 0&0&m&{m + 3} \end{array}} \right)\) Tiếp tục biến đổi: 1. R4 = R4 - m*R3 Ta được ma trận mới: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&2&{-1}\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&{m + 3 - 4m} \end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&2&{-1}\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&{3 - 3m} \end{array}} \right)\) Để r(A) = 3, thì dòng cuối cùng phải là dòng số 0, tức là 3 - 3m = 0, suy ra m = 1.

Câu 35:

Với giá trị nào của k thì r(A)=1 với \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&1&1\\ 1&k&1\\ 1&1&k \end{array}} \right)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để r(A) = 1, tất cả các định thức con cấp 2 của A phải bằng 0. Xét các định thức con: 1. \(\begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k = \pm 1\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} = 1 - k = 0 \Rightarrow k = 1\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\) Nếu k = 1, ma trận A trở thành: \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}} \right)\) Trong trường hợp này, r(A) = 1. Nếu k = -1, ma trận A trở thành: \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}} \right)\) Trong trường hợp này, r(A) > 1. Vậy, chỉ có k = 1 thì r(A) = 1.

Câu 36:

Trong không gian vecto V cho họ M = {x, y, z, t} có hạng bằng 2. Khẳng định nào sau đây luôn đúng? Ký hiệu: ĐLTT, PTTT, THTT là độc lập, phụ thuộc và tổ hợp tuyến tính tương ứng.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì hạng của họ M = {x, y, z, t} bằng 2, điều này có nghĩa là trong bốn vector này, chỉ có tối đa hai vector độc lập tuyến tính. Các vector còn lại có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vector độc lập này. * **Phương án 1:** M sinh ra không gian 3 chiều. Sai, vì hạng của M bằng 2, M chỉ sinh ra không gian 2 chiều. * **Phương án 2:** {2x} không là THTT của {x, y}. Sai, vì 2x chắc chắn là THTT của {x,y} (2x = 2*x + 0*y). * **Phương án 3:** {x, y} ĐLTT. Sai, vì ta chỉ biết hạng của {x, y, z, t} là 2. Không thể kết luận {x, y} độc lập tuyến tính. Ví dụ, có thể x = ky với k là một số thực. * **Phương án 4:** {x, y, x + z} PTTT. Đúng, vì hạng của M = {x, y, z, t} bằng 2, nên z có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x và y, tức là z = a*x + b*y. Do đó, x + z = (a+1)*x + b*y, suy ra x + z là tổ hợp tuyến tính của x và y. Vậy, tập {x, y, x + z} phụ thuộc tuyến tính. Vậy, phương án đúng là {x, y, x + z} PTTT.

Câu 37:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính nên hạng của hệ này bằng 3. Vì M = {x, y, z, t} là tập sinh của V nên V là không gian sinh bởi {x, y, z, t}. Xét các phương án: - Phương án 1: {x, y, z, 2x + y − z} có tối đa 3 vecto độc lập tuyến tính (vì 2x + y - z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z). Vậy hạng của hệ {x, y, z, 2x + y − z} tối đa bằng 3. Do đó, phương án 1 sai. - Phương án 2: Vì {x, y, z, t} là tập sinh của V nên dim(V) ≤ 4. Tuy nhiên, ta không thể khẳng định dim(V) = 3. Ví dụ, t có thể độc lập tuyến tính với {x, y, z}, khi đó dim(V) = 4. Vậy phương án 2 sai. - Phương án 4: Nếu t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z} thì M = {x, y, z, t} không nhất thiết là tập sinh của V. Ví dụ, V có thể có chiều bằng 4. Vậy phương án 4 sai. - Phương án 3: Vì các phương án kia đều sai nên phương án 3 đúng.

Câu 38:

Cho không gian vecto \(V =< (1, 1, −1), (2, 3, 5), (3, m, m + 4 )>\). Với giá trị nào của m thì V có chiều lớn nhất?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để không gian vector V có chiều lớn nhất, các vector sinh ra nó phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0. Ta có ma trận:
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & m & m+4 \end{bmatrix}\)
Tính định thức:
\(\begin{aligned}det &= 1(3(m+4) - 5m) - 1(2(m+4) - 15) + (-1)(2m - 9) \\&= 3m + 12 - 5m - 2m - 8 + 15 - 2m + 9 \\&= -6m + 28\end{aligned}\)
Để các vector độc lập tuyến tính thì det khác 0, suy ra:
\(-6m + 28 \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{28}{6} = \frac{14}{3}\)
Vậy, với \(m \ne \frac{14}{3}\) thì V có chiều lớn nhất.

Câu 39:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải: