Tính hạng của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1&2&4\\ 2&2&3&5&7\\ 3&{ - 4}&5&2&{10}\\ 5&{ - 6}&7&6&{18} \end{array}} \right)\)

r(A) = 4

r(A) = 2

r(A) = 3

r(A) = 1

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang. Ma trận A ban đầu: \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1&2&4\\ 2&2&3&5&7\\ 3&{ - 4}&5&2&{10}\\ 5&{ - 6}&7&6&{18} \end{array}} \right)\) Thực hiện các phép biến đổi: * H2 = H2 - 2*H1 * H3 = H3 - 3*H1 * H4 = H4 - 5*H1 * H4 = H4 - H3 * H3 = H3 * 4 + H2 Ta thấy ma trận có 3 hàng khác 0. Vậy hạng của ma trận A là 3.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 34:

Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&3&4&1\\ 3&4&6&6\\ 4&4&{m + 4}&{m + 7} \end{array}} \right)\). Với giá trị nào của m r(A)=3

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hạng của ma trận A bằng 3, định thức của nó phải bằng 0. Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản ma trận A:

1. R2 = R2 - 2*R1
2. R3 = R3 - 3*R1
3. R4 = R4 - 4*R1

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&1&3&3\\
0&0&m&{m + 3}
\end{array}} \right)\)

Tiếp tục biến đổi:

1. R3 = R3 - R2

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&m&{m + 3}
\end{array}} \right)\)

Tiếp tục biến đổi:

1. R4 = R4 - m*R3

Ta được ma trận mới:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&0&{m + 3 - 4m}
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&2&{-1}\\
0&0&1&4\\
0&0&0&{3 - 3m}
\end{array}} \right)\)

Để r(A) = 3, thì dòng cuối cùng phải là dòng số 0, tức là 3 - 3m = 0, suy ra m = 1.

Câu 35:

Với giá trị nào của k thì r(A)=1 với \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&1&1\\ 1&k&1\\ 1&1&k \end{array}} \right)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để r(A) = 1, tất cả các định thức con cấp 2 của A phải bằng 0. Xét các định thức con:

1. \(\begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k = \pm 1\)
2. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} = 1 - k = 0 \Rightarrow k = 1\)
3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\)

Nếu k = 1, ma trận A trở thành:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}} \right)\)

Trong trường hợp này, r(A) = 1.

Nếu k = -1, ma trận A trở thành:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{array}} \right)\)

Trong trường hợp này, r(A) > 1.

Vậy, chỉ có k = 1 thì r(A) = 1.

Câu 36:

Trong không gian vecto V cho họ M = {x, y, z, t} có hạng bằng 2. Khẳng định nào sau đây luôn đúng? Ký hiệu: ĐLTT, PTTT, THTT là độc lập, phụ thuộc và tổ hợp tuyến tính tương ứng.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì hạng của họ M = {x, y, z, t} bằng 2, điều này có nghĩa là trong bốn vector này, chỉ có tối đa hai vector độc lập tuyến tính. Các vector còn lại có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vector độc lập này.

* Phương án 1: M sinh ra không gian 3 chiều. Sai, vì hạng của M bằng 2, M chỉ sinh ra không gian 2 chiều.
* Phương án 2: {2x} không là THTT của {x, y}. Sai, vì 2x chắc chắn là THTT của {x,y} (2x = 2*x + 0*y).
* Phương án 3: {x, y} ĐLTT. Sai, vì ta chỉ biết hạng của {x, y, z, t} là 2. Không thể kết luận {x, y} độc lập tuyến tính. Ví dụ, có thể x = ky với k là một số thực.
* Phương án 4: {x, y, x + z} PTTT. Đúng, vì hạng của M = {x, y, z, t} bằng 2, nên z có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x và y, tức là z = a*x + b*y. Do đó, x + z = (a+1)*x + b*y, suy ra x + z là tổ hợp tuyến tính của x và y. Vậy, tập {x, y, x + z} phụ thuộc tuyến tính.

Vậy, phương án đúng là {x, y, x + z} PTTT.

Câu 37:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vector V nên mọi vector trong V đều có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong M.

Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hạng của hệ {x, y, z} là 3.

Xét đáp án 1: Hạng của {x, y, z, 2x + y − z} bằng 4. Vì 2x + y - z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên hạng của hệ {x, y, z, 2x + y − z} bằng hạng của hệ {x, y, z} và bằng 3. Vậy đáp án này sai.

Xét đáp án 2: Dim(V) = 3. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính và M = {x, y, z, t} là tập sinh của V, ta có 3 ≤ Dim(V) ≤ 4. Nếu t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z} thì Dim(V) = 3. Nếu t không là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z} thì Dim(V) = 4. Vậy đáp án này sai.

Xét đáp án 4: t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Nếu t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z} thì Dim(V) = 3. Nếu t không là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z} thì Dim(V) = 4. Vậy đáp án này sai.

Vậy đáp án đúng là đáp án 3: Các câu kia đều sai.

Câu 38:

Cho không gian vecto \(V =< (1, 1, −1), (2, 3, 5), (3, m, m + 4 )>\). Với giá trị nào của m thì V có chiều lớn nhất?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để không gian vector V có chiều lớn nhất, các vector sinh ra nó phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.
Ta có ma trận:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & m & m+4 \end{bmatrix}\)

Tính định thức:

\(\begin{aligned}det &= 1(3(m+4) - 5m) - 1(2(m+4) - 15) + (-1)(2m - 9) \\&= 3m + 12 - 5m - 2m - 8 + 15 - 2m + 9 \\&= -6m + 28\end{aligned}\)

Để các vector độc lập tuyến tính thì det khác 0, suy ra:

\(-6m + 28 \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{28}{6} = \frac{14}{3}\)

Vậy, với \(m \ne \frac{14}{3}\) thì V có chiều lớn nhất.

Câu 39:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải: