Cho không gian vectơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không tổ hợp tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 43:

Trong R₄ cho họ vecto \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }\). Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để họ vector M sinh ra không gian 3 chiều, thì họ vector M phải là hệ sinh của không gian 3 chiều, tức là M phải chứa 3 vector độc lập tuyến tính và các vector còn lại phải biểu diễn tuyến tính qua 3 vector đó.

Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 4 vector của M:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 1 & m & 2 \\
1 & 4 & m+2 & 2
\end{vmatrix}\)

Tính định thức này, ta được: \(-2m + 4\).

Hệ M sinh ra không gian 3 chiều khi và chỉ khi 4 vector này phụ thuộc tuyến tính, tức là định thức bằng 0.

\(-2m + 4 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Vậy, khi m = 2 thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Câu 44:

Trong không gian R3 cho không gian con \(F =< ( 1 , 0,1 ) ; ( 2, 3, −1 ) ; ( 5, 6, −1 ) >\) và \(x = ( 2, m, 3 ) \). Với giá trị của m thì \(x \in F\).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Không gian con F được sinh bởi các vector (1, 0, 1), (2, 3, -1), và (5, 6, -1). Ta cần tìm giá trị của m để vector x = (2, m, 3) thuộc F. Điều này có nghĩa là x phải là tổ hợp tuyến tính của các vector sinh của F.

Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho:

a(1, 0, 1) + b(2, 3, -1) + c(5, 6, -1) = (2, m, 3)

Điều này tương đương với hệ phương trình:

a + 2b + 5c = 2
3b + 6c = m
a - b - c = 3

Từ phương trình thứ hai, ta có b + 2c = m/3.
Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:

a = 3 + b + c
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + c + 2b + 5c = 2
3b + 6c = -1

Vậy m/3 = -1, suy ra m = -3. Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = -3. Ta kiểm tra lại.
Ta thấy vector (5, 6, -1) = 2(2,3,-1) + (1,0,1). Vậy (5,6,-1) có thể bỏ đi.
Ta giải hệ:
a + 2b = 2
3b = m
a - b = 3

Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:
a = 3 + b
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + 2b = 2
3b = -1
Vậy b = -1/3
Suy ra m = 3b = -1
Vậy m = -1.

Câu 45:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì {x, y, z, t} là tập sinh của V và {x, y} là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M, điều này có nghĩa là z và t có thể biểu diễn được qua x và y. Do đó, z và t là tổ hợp tuyến tính của {x, y}. Suy ra, t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}. Các phương án khác không đúng vì không nhất thiết x phải là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}, y không nhất thiết là tổ hợp tuyến tính của {z, t}, và {x + y, x − y, z, t} vẫn có thể sinh ra V vì x và y độc lập tuyến tính, và z, t có thể biểu diễn qua x và y.

Câu 46:

Cho họ vecto M = {x, y, z, t} biết x, y, z là họ độc lập tuyến tính cực đại. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì {x, y, z} là họ độc lập tuyến tính cực đại nên không gian sinh bởi M có số chiều là 3. Vectơ t phải biểu diễn được qua x, y, z (t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z). Do đó M phụ thuộc tuyến tính. Vậy các đáp án M sinh ra không gian 2 chiều, M độc lập tuyến tính và x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t} đều sai.

Câu 47:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để M là tập sinh của R^4 thì M phải là một cơ sở của R^4. Điều này xảy ra khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các vector trong M khác 0.
Ta lập ma trận A có các hàng là các vector trong M:

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & m \\
3 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\)

Tính định thức của A:

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
R2 = R2 - 2R1, R3 = R3 - 3R1, R4 = R4 - 3R1

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & -1 & -2 & m-3 \\
0 & -2 & -1 & -3
\end{pmatrix}
\)
R3 = R3 - R2, R4 = R4 - 2R2
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & -3 & -7
\end{pmatrix}
\)
R4 = R4 - R3
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & 0 & -7-(m-5)
\end{pmatrix}
\)

Định thức của A là: det(A) = 1 * (-1) * (-3) * (-7 - m + 5) = 3 * (-2 - m)

Để M là tập sinh của R^4, det(A) phải khác 0. Tức là: 3 * (-2 - m) != 0 => -2 - m != 0 => m != -2

Vậy, m phải khác -2.

Câu 48:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 49:

Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là ( 3,1 ,5 )^T. Tìm tọa độ của x trong cơ sở \(u, u + v, u + v + w.\)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 50:

Trong R² cho hai cơ sở: \(B = {( 1 , 0 ) , ( 1 ,1 ) }\) và \(F = {( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) }\). Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở B là (2; 3). Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 1:

Cho A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ { - 3}&1&0\\ 2&1&3 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\).Tính det(3AB)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 2:

Cho hệ phương trình tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.\). Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ.