Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Cho họ vecto M = {x, y, z, t} biết x, y, z là họ độc lập tuyến tính cực đại. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì x, y, z là hệ độc lập tuyến tính cực đại, nên t phải biểu diễn được qua x, y, z. Do đó hệ M = {x, y, z, t} là hệ sinh của không gian mà x, y, z sinh ra (không gian 3 chiều). Vì t biểu diễn được qua x, y, z nên M phụ thuộc tuyến tính, do đó đáp án M độc lập tuyến tính sai.

x không thể biểu diễn được qua y, z, t vì nếu x biểu diễn được qua y, z, t thì x biểu diễn được qua y, z (do t biểu diễn được qua x, y, z). Điều này mâu thuẫn với giả thiết x, y, z độc lập tuyến tính. Vậy đáp án x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t} là sai.

M sinh ra không gian 3 chiều chứ không phải 2 chiều, vậy đáp án M sinh ra không gian 2 chiều là sai.

Vậy đáp án đúng là 3 câu kia đều sai.

Câu 47:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để M là tập sinh của R^4 thì M phải là một cơ sở của R^4. Điều này xảy ra khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các vector trong M khác 0.
Ta lập ma trận A có các hàng là các vector trong M:

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & m \\
3 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\)

Tính định thức của A:

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
R2 = R2 - 2R1, R3 = R3 - 3R1, R4 = R4 - 3R1

\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & -1 & -2 & m-3 \\
0 & -2 & -1 & -3
\end{pmatrix}
\)
R3 = R3 - R2, R4 = R4 - 2R2
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & -3 & -7
\end{pmatrix}
\)
R4 = R4 - R3
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -3 & m-5 \\
0 & 0 & 0 & -7-(m-5)
\end{pmatrix}
\)

Định thức của A là: det(A) = 1 * (-1) * (-3) * (-7 - m + 5) = 3 * (-2 - m)

Để M là tập sinh của R^4, det(A) phải khác 0. Tức là: 3 * (-2 - m) != 0 => -2 - m != 0 => m != -2

Vậy, m phải khác -2.

Câu 48:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(V = \langle (1, 1, 1), (2, -1, 3), (1, 0, 1) \rangle\). Điều này có nghĩa là V là không gian sinh bởi các vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1). Để \(x = (4, 3, m) \notin V\), x không thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ sinh của V.

Xét xem ba vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1) có độc lập tuyến tính hay không:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 0) - 2(1 - 0) + 1(3 - (-1)) = -1 - 2 + 4 = 1 \ne 0\)

Vì định thức khác 0, ba vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của \(\mathbb{R}^3\). Do đó, mọi vectơ trong \(\mathbb{R}^3\) đều thuộc V.

Vậy, không có giá trị m nào để \(x = (4, 3, m) \notin V\). Do đó, đáp án là \(\not \exists m\).

Câu 49:

Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là ( 3,1 ,5 )^T. Tìm tọa độ của x trong cơ sở \(u, u + v, u + v + w.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi x là vector cần tìm. Theo đề bài, ta có: x = 3u + v + 5w.
Ta cần biểu diễn x theo cơ sở {u, u+v, u+v+w}. Giả sử x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)u + (b+c)v + c*w.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 3
b + c = 1
c = 5
Giải hệ phương trình trên, ta được: c = 5, b = 1 - c = 1 - 5 = -4, a = 3 - b - c = 3 - (-4) - 5 = 3 + 4 - 5 = 2.
Vậy tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (2, -4, 5)^T.

Câu 50:

Trong R² cho hai cơ sở: \(B = {( 1 , 0 ) , ( 1 ,1 ) }\) và \(F = {( 1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) }\). Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở B là (2; 3). Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi x là vector cần tìm. Vì tọa độ của x trong cơ sở B = {(1, 0), (1, 1)} là (2, 3), ta có: x = 2*(1, 0) + 3*(1, 1) = (2, 0) + (3, 3) = (5, 3).

Gọi (a, b) là tọa độ của x trong cơ sở F = {(1, 1), (1, 0)}. Khi đó: x = a*(1, 1) + b*(1, 0) = (a + b, a).

Ta có hệ phương trình:
a + b = 5
a = 3

Suy ra a = 3 và b = 5 - 3 = 2. Vậy tọa độ của x trong cơ sở F là (3, 2).

Câu 1:

Cho A= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ { - 3}&1&0\\ 2&1&3 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\).Tính det(3AB)

Lời giải: