Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là tập sinh. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì E = {x, y, z} là tập sinh của V, nên mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z.

- Xét đáp án 1: {2x, x + y, x − y, 3z}. Vì 2x, x+y, x-y, 3z đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z nên tập {2x, x + y, x − y, 3z} cũng sinh ra V.

- Xét đáp án 3: {x, y, 2y}. Hạng của tập này có thể bằng 1 nếu x và y cùng phương, có thể bằng 2 nếu x và y không cùng phương. Do đó, không thể khẳng định hạng của nó luôn bằng 3.

- Xét đáp án 4: {x, y, x + 2y}. Hạng của tập này có thể bằng 1 nếu x và y cùng phương, có thể bằng 2 nếu x và y không cùng phương. Do đó, không thể khẳng định hạng của nó luôn bằng 2. Thực tế hạng của {x, y, x+2y} nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Vậy, đáp án đúng là {2x, x + y, x − y, 3z} sinh ra V.

Câu 41:

Cho $M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2, 1 , 3 ) , ( 1 , 0, 3 ) }$ là tập sinh của không gian vecto V. Tim m để ${( 3, 1 , 6 ) , ( 1 ,2, m) }$ là cơ sở của V.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Không gian vector V được sinh bởi M = {(1, 1, 0), (2, 1, 3), (1, 0, 3)}. Để {(3, 1, 6), (1, 2, m)} là cơ sở của V, hai vector này phải độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy (3,1,6) = (1,1,0) + (2,1,3) + (0,0,3) nên (3, 1, 6) thuộc V. Xét tổ hợp tuyến tính a(1,1,0) + b(2,1,3) + c(1,0,3) = (1,2,m). Ta có hệ phương trình: a + 2b + c = 1; a + b = 2; 3b + 3c = m. Từ phương trình thứ 2, a = 2 - b. Thay vào phương trình thứ nhất: 2 - b + 2b + c = 1 => b + c = -1 => c = -1 - b. Thay vào phương trình thứ 3: 3b + 3(-1-b) = m => 3b - 3 - 3b = m => m = -3. Khi m = -3, (1, 2, -3) thuộc V. Để (3, 1, 6) và (1, 2, -3) độc lập tuyến tính, ta kiểm tra định thức của ma trận tạo bởi hai vector này khác 0. Tuy nhiên, vì hai vector này thuộc không gian con 2 chiều, ta chỉ cần kiểm tra chúng không tỉ lệ. Rõ ràng (3,1,6) và (1,2,-3) không tỉ lệ. Vậy m = -3.

Câu 42:

Cho không gian vectơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không tổ hợp tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V.

Phương án 1: {x, y, 2x - 3y} chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều vì 2x - 3y là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Phương án 2: Tương tự, x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều.

Phương án 3: Xét tổ hợp tuyến tính a(x + y + z) + b(x - y) + c(x + 3y + 2z) = 0. Điều này tương đương với (a + b + c)x + (a - b + 3c)y + (a + 2c)z = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 0
a - b + 3c = 0
a + 2c = 0
Giải hệ này, ta được a = -2c, b = -c. Vậy các vector phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chỉ sinh ra không gian 2 chiều.

Phương án 4: {x + y, x - y, z} độc lập tuyến tính vì z không phải là tổ hợp tuyến tính của x và y, và x + y và x - y độc lập tuyến tính. Do đó, sinh ra một không gian 3 chiều, tức là V.

Câu 43:

Trong R₄ cho họ vecto $M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }$. Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để họ vecto M sinh ra không gian 3 chiều, họ M phải độc lập tuyến tính và có số chiều là 3. Vì M có 4 vecto trong R4, ta cần tìm m sao cho hạng của ma trận tạo bởi các vecto của M bằng 3.
Ta xét ma trận:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & m & 2 \\ 1 & 4 & m+2 & 2 \end{pmatrix}$$

Để hạng của ma trận này bằng 3, định thức của nó phải bằng 0. Ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:

Trừ hàng 1 cho các hàng 2, 3, 4, ta được:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & m+1 & -1 \\ 0 & 2 & m+3 & -1 \end{pmatrix}$$

Cộng hàng 2 cho hàng 3, và trừ 2 lần hàng 2 cho hàng 4, ta được:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & m+5 & -3 \\ 0 & 0 & m-5 & 3 \end{pmatrix}$$

Để định thức bằng 0, ta cần:

$$(m+5)(3) - (m-5)(-3) = 0$$

$$3m + 15 + 3m - 15 = 0$$

$$6m = 0$$

$$m = 0$$

Vậy, với m = 0, hạng của ma trận bằng 3, và M sinh ra không gian 3 chiều.

Câu 44:

Trong không gian R3 cho không gian con $F =< ( 1 , 0,1 ) ; ( 2, 3, −1 ) ; ( 5, 6, −1 ) >$ và $x = ( 2, m, 3 ) $. Với giá trị của m thì $x \in F$.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Không gian con F được sinh bởi các vector (1, 0, 1), (2, 3, -1), và (5, 6, -1). Ta cần tìm giá trị của m để vector x = (2, m, 3) thuộc F. Điều này có nghĩa là x phải là tổ hợp tuyến tính của các vector sinh của F.

Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho:

a(1, 0, 1) + b(2, 3, -1) + c(5, 6, -1) = (2, m, 3)

Điều này tương đương với hệ phương trình:

a + 2b + 5c = 2
3b + 6c = m
a - b - c = 3

Từ phương trình thứ hai, ta có b + 2c = m/3.
Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:

a = 3 + b + c
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + c + 2b + 5c = 2
3b + 6c = -1

Vậy m/3 = -1, suy ra m = -3. Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = -3. Ta kiểm tra lại.
Ta thấy vector (5, 6, -1) = 2(2,3,-1) + (1,0,1). Vậy (5,6,-1) có thể bỏ đi.
Ta giải hệ:
a + 2b = 2
3b = m
a - b = 3

Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có:
a = 3 + b
Thay vào phương trình thứ nhất:
3 + b + 2b = 2
3b = -1
Vậy b = -1/3
Suy ra m = 3b = -1
Vậy m = -1.

Câu 45:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải: