Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là tập sinh. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì E = {x, y, z} là tập sinh của V, tức là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Phương án 1: {2x, x + y, x − y, 3z} sinh ra V. Vì 2x, x+y, x-y, 3z đều là các tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên mọi tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Hơn nữa, x, y, z cũng có thể biểu diễn được qua 2x, x+y, x-y, 3z. Cụ thể: x = (1/2)*2x, y = (1/2)*(x+y) - (1/2)*(x-y), z = (1/3)*3z. Do đó, {2x, x + y, x − y, 3z} cũng sinh ra V. Vậy phương án 1 đúng. Phương án 3: Hạng của {x, y, 2y} bằng 3. Vì {x, y, 2y} có 3 vector, nhưng 2y = 2*y nên hệ này phụ thuộc tuyến tính, do đó hạng của nó nhỏ hơn 3. Vậy phương án 3 sai. Phương án 4: Hạng của {x, y, x + 2y} bằng 2. Vì {x, y, x + 2y} có 3 vector, nhưng x+2y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên hệ này phụ thuộc tuyến tính, do đó hạng của nó nhỏ hơn 3. Ta thấy x và y độc lập tuyến tính nên hạng của hệ là 2. Vậy phương án 4 đúng. Phương án 2: Các câu kia sai. Vì phương án 1 và 4 đúng nên phương án 2 sai.

Câu 41:

Cho \(M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2, 1 , 3 ) , ( 1 , 0, 3 ) }\) là tập sinh của không gian vecto V. Tim m để \({( 3, 1 , 6 ) , ( 1 ,2, m) }\) là cơ sở của V.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Không gian vector V được sinh bởi M = {(1, 1, 0), (2, 1, 3), (1, 0, 3)}. Để {(3, 1, 6), (1, 2, m)} là cơ sở của V, hai vector này phải độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy (3,1,6) = (1,1,0) + (2,1,3) + (0,0,3) nên (3, 1, 6) thuộc V. Xét tổ hợp tuyến tính a(1,1,0) + b(2,1,3) + c(1,0,3) = (1,2,m). Ta có hệ phương trình: a + 2b + c = 1; a + b = 2; 3b + 3c = m. Từ phương trình thứ 2, a = 2 - b. Thay vào phương trình thứ nhất: 2 - b + 2b + c = 1 => b + c = -1 => c = -1 - b. Thay vào phương trình thứ 3: 3b + 3(-1-b) = m => 3b - 3 - 3b = m => m = -3. Khi m = -3, (1, 2, -3) thuộc V. Để (3, 1, 6) và (1, 2, -3) độc lập tuyến tính, ta kiểm tra định thức của ma trận tạo bởi hai vector này khác 0. Tuy nhiên, vì hai vector này thuộc không gian con 2 chiều, ta chỉ cần kiểm tra chúng không tỉ lệ. Rõ ràng (3,1,6) và (1,2,-3) không tỉ lệ. Vậy m = -3.

Câu 42:

Cho không gian vectơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không tổ hợp tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V. Phương án 1: {x, y, 2x - 3y} chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều vì 2x - 3y là tổ hợp tuyến tính của x và y. Phương án 2: Tương tự, x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều. Phương án 3: Xét tổ hợp tuyến tính a(x + y + z) + b(x - y) + c(x + 3y + 2z) = 0. Điều này tương đương với (a + b + c)x + (a - b + 3c)y + (a + 2c)z = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a + b + c = 0 a - b + 3c = 0 a + 2c = 0 Giải hệ này, ta được a = -2c, b = -c. Vậy các vector phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chỉ sinh ra không gian 2 chiều. Phương án 4: {x + y, x - y, z} độc lập tuyến tính vì z không phải là tổ hợp tuyến tính của x và y, và x + y và x - y độc lập tuyến tính. Do đó, sinh ra một không gian 3 chiều, tức là V.

Câu 43:

Trong R₄ cho họ vecto \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }\). Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để họ vector M sinh ra không gian 3 chiều, thì họ vector M phải là hệ sinh của không gian 3 chiều, tức là M phải chứa 3 vector độc lập tuyến tính và các vector còn lại phải biểu diễn tuyến tính qua 3 vector đó. Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 4 vector của M: \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & m & 2 \\ 1 & 4 & m+2 & 2 \end{vmatrix}\) Tính định thức này, ta được: \(-2m + 4\). Hệ M sinh ra không gian 3 chiều khi và chỉ khi 4 vector này phụ thuộc tuyến tính, tức là định thức bằng 0. \(-2m + 4 = 0 \Rightarrow m = 2\) Vậy, khi m = 2 thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Câu 44:

Trong không gian R3 cho không gian con \(F =< ( 1 , 0,1 ) ; ( 2, 3, −1 ) ; ( 5, 6, −1 ) >\) và \(x = ( 2, m, 3 ) \). Với giá trị của m thì \(x \in F\).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Không gian con F được sinh bởi các vector (1, 0, 1), (2, 3, -1), và (5, 6, -1). Ta cần tìm giá trị của m để vector x = (2, m, 3) thuộc F. Điều này có nghĩa là x phải là tổ hợp tuyến tính của các vector sinh của F. Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho: a(1, 0, 1) + b(2, 3, -1) + c(5, 6, -1) = (2, m, 3) Điều này tương đương với hệ phương trình: a + 2b + 5c = 2 3b + 6c = m a - b - c = 3 Từ phương trình thứ hai, ta có b + 2c = m/3. Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có: a = 3 + b + c Thay vào phương trình thứ nhất: 3 + b + c + 2b + 5c = 2 3b + 6c = -1 Vậy m/3 = -1, suy ra m = -3. Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = -3. Ta kiểm tra lại. Ta thấy vector (5, 6, -1) = 2(2,3,-1) + (1,0,1). Vậy (5,6,-1) có thể bỏ đi. Ta giải hệ: a + 2b = 2 3b = m a - b = 3 Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có: a = 3 + b Thay vào phương trình thứ nhất: 3 + b + 2b = 2 3b = -1 Vậy b = -1/3 Suy ra m = 3b = -1 Vậy m = -1.

Câu 45:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Biết x, y là tập con độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 46:

Cho họ vecto M = {x, y, z, t} biết x, y, z là họ độc lập tuyến tính cực đại. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 47:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2, 1 , m) , ( 3, 1 ,2, 0 ) }\) là tập sinh của R⁴?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 48:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 ) ; ( 2, −1 , 3 ) ; ( 1 , 0,1 ) >\). Với giá trị nào của m thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}4,{\rm{ }}3,{\rm{ }}m} \right){\rm{ }} \notin {\rm{ }}V.\)