Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Cho không gian vecto \(V =< (1, 1, −1), (2, 3, 5), (3, m, m + 4 )>\). Với giá trị nào của m thì V có chiều lớn nhất?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để không gian vector V có chiều lớn nhất, các vector sinh ra nó phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.
Ta có ma trận:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & m & m+4 \end{bmatrix}\)

Tính định thức:

\(\begin{aligned}det &= 1(3(m+4) - 5m) - 1(2(m+4) - 15) + (-1)(2m - 9) \\&= 3m + 12 - 5m - 2m - 8 + 15 - 2m + 9 \\&= -6m + 28\end{aligned}\)

Để các vector độc lập tuyến tính thì det khác 0, suy ra:

\(-6m + 28 \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{28}{6} = \frac{14}{3}\)

Vậy, với \(m \ne \frac{14}{3}\) thì V có chiều lớn nhất.

Câu 39:

Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vecto thực V, ta có:

- M là một hệ sinh của V.

- M độc lập tuyến tính.

Do đó, mọi vecto trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Vì vậy, 4y + 3z thuộc V (đáp án 1 đúng).

Xét đáp án 2: {x, y, 2x - y}. Ta thấy 2x - y là tổ hợp tuyến tính của x và y. Do đó hệ này phụ thuộc tuyến tính. Vậy hạng của nó nhỏ hơn 3. Vì x và y độc lập tuyến tính nên hạng của hệ này bằng 2. Đáp án này đúng.

Xét đáp án 3: {2x, 3y, x + z}. Để xét sự phụ thuộc tuyến tính, ta xét phương trình a(2x) + b(3y) + c(x + z) = 0. Điều này tương đương với (2a + c)x + 3by + cz = 0. Vì {x, y, z} là cơ sở nên độc lập tuyến tính. Do đó 2a + c = 0, 3b = 0, c = 0. Suy ra a = b = c = 0. Vậy hệ {2x, 3y, x + z} độc lập tuyến tính.

Xét đáp án 4: Vì M = {x, y, z} là cơ sở của V và có 3 vecto, nên Dim(V) = 3, không phải 2.

Vậy, khẳng định "4y + 3z \in V" luôn đúng.

Câu 40:

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là tập sinh. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì E = {x, y, z} là tập sinh của V, nên mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z.

- Xét đáp án 1: {2x, x + y, x − y, 3z}. Vì 2x, x+y, x-y, 3z đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z nên tập {2x, x + y, x − y, 3z} cũng sinh ra V.

- Xét đáp án 3: {x, y, 2y}. Hạng của tập này có thể bằng 1 nếu x và y cùng phương, có thể bằng 2 nếu x và y không cùng phương. Do đó, không thể khẳng định hạng của nó luôn bằng 3.

- Xét đáp án 4: {x, y, x + 2y}. Hạng của tập này có thể bằng 1 nếu x và y cùng phương, có thể bằng 2 nếu x và y không cùng phương. Do đó, không thể khẳng định hạng của nó luôn bằng 2. Thực tế hạng của {x, y, x+2y} nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Vậy, đáp án đúng là {2x, x + y, x − y, 3z} sinh ra V.

Câu 41:

Cho \(M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2, 1 , 3 ) , ( 1 , 0, 3 ) }\) là tập sinh của không gian vecto V. Tim m để \({( 3, 1 , 6 ) , ( 1 ,2, m) }\) là cơ sở của V.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Không gian vector V được sinh bởi M = {(1, 1, 0), (2, 1, 3), (1, 0, 3)}. Để {(3, 1, 6), (1, 2, m)} là cơ sở của V, hai vector này phải độc lập tuyến tính và sinh ra V. Ta thấy (3,1,6) = (1,1,0) + (2,1,3) + (0,0,3) nên (3, 1, 6) thuộc V. Xét tổ hợp tuyến tính a(1,1,0) + b(2,1,3) + c(1,0,3) = (1,2,m). Ta có hệ phương trình: a + 2b + c = 1; a + b = 2; 3b + 3c = m. Từ phương trình thứ 2, a = 2 - b. Thay vào phương trình thứ nhất: 2 - b + 2b + c = 1 => b + c = -1 => c = -1 - b. Thay vào phương trình thứ 3: 3b + 3(-1-b) = m => 3b - 3 - 3b = m => m = -3. Khi m = -3, (1, 2, -3) thuộc V. Để (3, 1, 6) và (1, 2, -3) độc lập tuyến tính, ta kiểm tra định thức của ma trận tạo bởi hai vector này khác 0. Tuy nhiên, vì hai vector này thuộc không gian con 2 chiều, ta chỉ cần kiểm tra chúng không tỉ lệ. Rõ ràng (3,1,6) và (1,2,-3) không tỉ lệ. Vậy m = -3.

Câu 42:

Cho không gian vectơ V có chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không tổ hợp tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V.

Phương án 1: {x, y, 2x - 3y} chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều vì 2x - 3y là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Phương án 2: Tương tự, x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên chỉ sinh ra một không gian con 2 chiều.

Phương án 3: Xét tổ hợp tuyến tính a(x + y + z) + b(x - y) + c(x + 3y + 2z) = 0. Điều này tương đương với (a + b + c)x + (a - b + 3c)y + (a + 2c)z = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình:
a + b + c = 0
a - b + 3c = 0
a + 2c = 0
Giải hệ này, ta được a = -2c, b = -c. Vậy các vector phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chỉ sinh ra không gian 2 chiều.

Phương án 4: {x + y, x - y, z} độc lập tuyến tính vì z không phải là tổ hợp tuyến tính của x và y, và x + y và x - y độc lập tuyến tính. Do đó, sinh ra một không gian 3 chiều, tức là V.

Câu 43:

Trong R₄ cho họ vecto \(M = {( 1 , 1 ,1 , 1 ) ,2, 3, 1 , 4 ) , (−1 , 3, m, m + 2 ) , ( 3, 1 ,2,2 ) }\). Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.

Lời giải: