Tìm định thức của ma trận X thỏa mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right].X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&{ - 1}\\ 3&5&2 \end{array}} \right].\)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Gọi A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\), B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&-1\\ 3&5&2 \end{array}} \right]\). Ta có AX = B. Suy ra det(AX) = det(B).
Ta có det(A) = 1 (vì A là ma trận tam giác trên). Do đó det(AX) = det(A)det(X) = det(X).
Tính det(B) = 1*(2*2 - (-1)*5) - 1*(1*2 - (-1)*3) + 1*(1*5 - 2*3) = 1*(4+5) - 1*(2+3) + 1*(5-6) = 9 - 5 - 1 = 3.
Vậy det(X) = det(B) = 3.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Ta có ma trận A như sau:
A = \(\begin{pmatrix} i^2 & i^3 & i^4 \\ i^3 & i^4 & i^5 \\ i^4 & i^5 & i^6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} -1 & -i & 1 \\ -i & 1 & i \\ 1 & i & -1 \end{pmatrix}\)
Tính định thức của ma trận A:
det(A) = -1*(1*(-1) - i*i) - (-i)*((-i)*(-1) - i*1) + 1*((-i)*i - 1*1) = -1*(-1 + 1) + i*(i + i) + 1* (1 - 1) = 0 + 2i^2 + 0 = -2
Nhận thấy các cột của ma trận A tỉ lệ với nhau, cụ thể cột 1 và cột 3 đối nhau, do đó định thức của ma trận A bằng 0.
Hoặc: Cột 2 nhân với i sẽ ra cột 3, cột 1 nhân với i sẽ ra cột 2, do đó các cột tỉ lệ với nhau, định thức bằng 0.
Vậy det(A) = 0.
A = \(\begin{pmatrix} i^2 & i^3 & i^4 \\ i^3 & i^4 & i^5 \\ i^4 & i^5 & i^6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} -1 & -i & 1 \\ -i & 1 & i \\ 1 & i & -1 \end{pmatrix}\)
Tính định thức của ma trận A:
det(A) = -1*(1*(-1) - i*i) - (-i)*((-i)*(-1) - i*1) + 1*((-i)*i - 1*1) = -1*(-1 + 1) + i*(i + i) + 1* (1 - 1) = 0 + 2i^2 + 0 = -2
Nhận thấy các cột của ma trận A tỉ lệ với nhau, cụ thể cột 1 và cột 3 đối nhau, do đó định thức của ma trận A bằng 0.
Hoặc: Cột 2 nhân với i sẽ ra cột 3, cột 1 nhân với i sẽ ra cột 2, do đó các cột tỉ lệ với nhau, định thức bằng 0.
Vậy det(A) = 0.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A và giải phương trình det(A) = 0.
Vậy m = -3
Vậy m = -3
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để hệ phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0 và các định thức con cũng phải bằng 0. Ta biến đổi hệ phương trình như sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2z = 1\\
2x + 3y - 3z = 5\\
3x + my - 7z = 4
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2), ta có: y + z = 3 => y = 3 - z
Thay vào phương trình (1): x + 3 - z - 2z = 1 => x = 3z - 2
Thay x và y vào phương trình (3), ta có:
3(3z - 2) + m(3 - z) - 7z = 4
9z - 6 + 3m - mz - 7z = 4
(2 - m)z = 10 - 3m
Để hệ có vô số nghiệm thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2 - m = 0\\
10 - 3m = 0
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{10}{3}
\end{array} \right.\)
Vì không tồn tại m thỏa mãn, vậy hệ phương trình không thể có vô số nghiệm. Do đó, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2z = 1\\
2x + 3y - 3z = 5\\
3x + my - 7z = 4
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2), ta có: y + z = 3 => y = 3 - z
Thay vào phương trình (1): x + 3 - z - 2z = 1 => x = 3z - 2
Thay x và y vào phương trình (3), ta có:
3(3z - 2) + m(3 - z) - 7z = 4
9z - 6 + 3m - mz - 7z = 4
(2 - m)z = 10 - 3m
Để hệ có vô số nghiệm thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2 - m = 0\\
10 - 3m = 0
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{10}{3}
\end{array} \right.\)
Vì không tồn tại m thỏa mãn, vậy hệ phương trình không thể có vô số nghiệm. Do đó, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Hệ phương trình đã cho là một hệ thuần nhất. Ta cần tìm nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình 2x + y + z - 3t = 4.
Giải hệ phương trình:
Từ phương trình (1) và (2) ta có:
x + y + z + t = 0
2x + y + 3z + 4t = 0
=> (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0
=> -y + z + 2t = 0
=> y = z + 2t
Từ phương trình (1) và (3) ta có:
x + y + z + t = 0
3x + 4y + 2z + 5t = 0
=> (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0
=> y - z + 2t = 0
=> y = z - 2t
Từ đó suy ra:
z + 2t = z - 2t
=> 4t = 0
=> t = 0
Vậy y = z
Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z
Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0)
Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4:
2(-2z) + z + z - 3(0) = 4
=> -4z + 2z = 4
=> -2z = 4
=> z = -2
Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).
Giải hệ phương trình:
Từ phương trình (1) và (2) ta có:
x + y + z + t = 0
2x + y + 3z + 4t = 0
=> (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0
=> -y + z + 2t = 0
=> y = z + 2t
Từ phương trình (1) và (3) ta có:
x + y + z + t = 0
3x + 4y + 2z + 5t = 0
=> (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0
=> y - z + 2t = 0
=> y = z - 2t
Từ đó suy ra:
z + 2t = z - 2t
=> 4t = 0
=> t = 0
Vậy y = z
Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z
Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0)
Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4:
2(-2z) + z + z - 3(0) = 4
=> -4z + 2z = 4
=> -2z = 4
=> z = -2
Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3
\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ nhất nhân 2 cho phương trình thứ hai và phương trình thứ ba, ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
\left( { - 3 - m} \right)z = 2{\rm{ }}\\
\left( {{m^2} - 1} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}1
\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ hai, ta có \(z = \frac{2}{{ - 3 - m}}\). Thay vào phương trình thứ ba, ta có:
\(\left( {{m^2} - 1} \right)\frac{2}{{ - 3 - m}} = m - 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)2}}{{ - 3 - m}} = m - 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{ - 3 - m}} - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2m + 2 + 3 + m}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{3m + 5}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\)
Suy ra m = 1 hoặc \(m = - \frac{5}{3}\)
Xét m = 1, ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + 2z = - 2
\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra x = -3y. Thay vào (1) ta có z = -1 + 3y - 3y = -1. Thay vào (3), ta có: 0 + 2*(-1) = -2 (luôn đúng). Vậy hệ có vô số nghiệm. m = 1 không thỏa mãn.
Xét \(m = - \frac{5}{3}\), ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y + \frac{8}{3}z = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + \frac{{34}}{9}z = - \frac{{14}}{3}
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y = - \frac{8}{3}z{\rm{ }}\\
2x + 6y = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3}
\end{array} \right.\)
Suy ra \( - \frac{8}{3}z = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3}\)
\(\Leftrightarrow - 24z = - 34z - 42\)
\(\Leftrightarrow 10z = - 42\)
\(\Leftrightarrow z = - \frac{{21}}{5}\)
Thay vào phương trình thứ 2: \(2x + 6y = - \frac{8}{3}.\left( { - \frac{{21}}{5}} \right) = \frac{{56}}{5}\)
Thay vào phương trình thứ 1: \(x + 3y = - 1 + \frac{{21}}{5} = \frac{{16}}{5}\)
Suy ra \(2x + 6y = \frac{{32}}{5}\), mâu thuẫn với \(2x + 6y = \frac{{56}}{5}\). Vậy hệ vô nghiệm khi \(m = - \frac{5}{3}\).
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Vậy không có đáp án đúng.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3
\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ nhất nhân 2 cho phương trình thứ hai và phương trình thứ ba, ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
\left( { - 3 - m} \right)z = 2{\rm{ }}\\
\left( {{m^2} - 1} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}1
\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ hai, ta có \(z = \frac{2}{{ - 3 - m}}\). Thay vào phương trình thứ ba, ta có:
\(\left( {{m^2} - 1} \right)\frac{2}{{ - 3 - m}} = m - 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)2}}{{ - 3 - m}} = m - 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{ - 3 - m}} - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2m + 2 + 3 + m}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{3m + 5}}{{ - 3 - m}}} \right) = 0\)
Suy ra m = 1 hoặc \(m = - \frac{5}{3}\)
Xét m = 1, ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + 2z = - 2
\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra x = -3y. Thay vào (1) ta có z = -1 + 3y - 3y = -1. Thay vào (3), ta có: 0 + 2*(-1) = -2 (luôn đúng). Vậy hệ có vô số nghiệm. m = 1 không thỏa mãn.
Xét \(m = - \frac{5}{3}\), ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y + \frac{8}{3}z = 0{\rm{ }}\\
2x + 6y + \frac{{34}}{9}z = - \frac{{14}}{3}
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\
2x + 6y = - \frac{8}{3}z{\rm{ }}\\
2x + 6y = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3}
\end{array} \right.\)
Suy ra \( - \frac{8}{3}z = - \frac{{34}}{9}z - \frac{{14}}{3}\)
\(\Leftrightarrow - 24z = - 34z - 42\)
\(\Leftrightarrow 10z = - 42\)
\(\Leftrightarrow z = - \frac{{21}}{5}\)
Thay vào phương trình thứ 2: \(2x + 6y = - \frac{8}{3}.\left( { - \frac{{21}}{5}} \right) = \frac{{56}}{5}\)
Thay vào phương trình thứ 1: \(x + 3y = - 1 + \frac{{21}}{5} = \frac{{16}}{5}\)
Suy ra \(2x + 6y = \frac{{32}}{5}\), mâu thuẫn với \(2x + 6y = \frac{{56}}{5}\). Vậy hệ vô nghiệm khi \(m = - \frac{5}{3}\).
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Vậy không có đáp án đúng.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
