Cho ma trận A = (a_jk), cấp 3, biết a_jk = i^j+k, với i là đơn vị ảo. Tính det(A).

-1

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A như sau: A = \(\begin{pmatrix} i^2 & i^3 & i^4 \\ i^3 & i^4 & i^5 \\ i^4 & i^5 & i^6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} -1 & -i & 1 \\ -i & 1 & i \\ 1 & i & -1 \end{pmatrix}\) Tính định thức của ma trận A: det(A) = -1*(1*(-1) - i*i) - (-i)*((-i)*(-1) - i*1) + 1*((-i)*i - 1*1) = -1*(-1 + 1) + i*(i + i) + 1* (1 - 1) = 0 + 2i^2 + 0 = -2 Nhận thấy các cột của ma trận A tỉ lệ với nhau, cụ thể cột 1 và cột 3 đối nhau, do đó định thức của ma trận A bằng 0. Hoặc: Cột 2 nhân với i sẽ ra cột 3, cột 1 nhân với i sẽ ra cột 2, do đó các cột tỉ lệ với nhau, định thức bằng 0. Vậy det(A) = 0.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 21:

Tìm m để det( A) = 0 với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A và giải phương trình det(A) = 0 theo m.

Ma trận A được cho là:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
3&2&1&0\\
5&6&{ - 1}&2\\
6&3&0&m
\end{array}} \right]\)

Để tính định thức, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta sẽ sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa ma trận trước khi tính định thức.

Thực hiện các phép biến đổi sau:

R2 = R2 - 3R1

R3 = R3 - 5R1

R4 = R4 - 6R1

Ta được ma trận mới:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
0&{ - 1}&{ - 2}&3\\
0&1&{ - 6}&7\\
0&{ - 3}&{ - 6}&{m + 6}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:

R3 = R3 + R2

R4 = R4 - 3R2

Ta được ma trận:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
0&{ - 1}&{ - 2}&3\\
0&0&{ - 8}&{10}\\
0&0&0&{m - 3}
\end{array}} \right]\)

Định thức của ma trận này là tích các phần tử trên đường chéo chính:

det(A) = 1 * (-1) * (-8) * (m - 3) = 8(m - 3)

Để det(A) = 0, ta có:

8(m - 3) = 0

m - 3 = 0

m = 3

Vậy, giá trị của m là 3.

Câu 22:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my - 7z = 4 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0 và định thức của ma trận mở rộng cũng phải bằng 0.
Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 3 & m & -7 \end{bmatrix}\]

Tính định thức của ma trận hệ số:
\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 3 & m & -7 \end{vmatrix} = 1(3(-7) - (-3)m) - 1(2(-7) - (-3)3) + (-2)(2m - 3(3)) = -21 + 3m + 14 - 9 - 4m + 18 = -m + 2\]
Để hệ có nghiệm, định thức phải bằng 0, vậy -m + 2 = 0 => m = 2.
Khi m = 2, hệ trở thành:
\[\begin{cases} x + y - 2z = 1 \\ 2x + 3y - 3z = 5 \\ 3x + 2y - 7z = 4 \end{cases}\]
Kiểm tra xem hệ có vô số nghiệm hay không khi m = 2.
Từ pt (1): x = 1 - y + 2z
Thay vào pt (2): 2(1 - y + 2z) + 3y - 3z = 5 => 2 - 2y + 4z + 3y - 3z = 5 => y + z = 3 => y = 3 - z
Thay vào pt (3): 3(1 - y + 2z) + 2y - 7z = 4 => 3 - 3y + 6z + 2y - 7z = 4 => -y - z = 1 => y + z = -1
Ta thấy y + z = 3 và y + z = -1 là vô lý. Vậy không có m để hệ có vô số nghiệm.

Câu 23:

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa \(2x + y + z − 3t = 4\) .

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + {\rm{ }}z + {\rm{ }}t = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z + 4t = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 2z + 5t = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho là một hệ thuần nhất. Ta cần tìm nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình 2x + y + z - 3t = 4.

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (1) và (2) ta có:
x + y + z + t = 0
2x + y + 3z + 4t = 0
=> (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0
=> -y + z + 2t = 0
=> y = z + 2t

Từ phương trình (1) và (3) ta có:
x + y + z + t = 0
3x + 4y + 2z + 5t = 0
=> (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0
=> y - z + 2t = 0
=> y = z - 2t

Từ đó suy ra:
z + 2t = z - 2t
=> 4t = 0
=> t = 0

Vậy y = z

Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z

Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0)

Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4:
2(-2z) + z + z - 3(0) = 4
=> -4z + 2z = 4
=> -2z = 4
=> z = -2

Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).

Câu 25:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau là hệ Cramer \(\left\{ \begin{array}{l} 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{\rm{ }}\\ x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình là hệ Cramer khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&m\\
3&2&{ - 1}\\
1&2&{ - 3}
\end{array}} \right)\)
Tính định thức của ma trận A:
\(\begin{array}{l}
det(A) = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
2&{ - 3}
\end{array}} \right| - 3\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 1}\\
1&{ - 3}
\end{array}} \right| + m\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2\\
1&2
\end{array}} \right|\\ = 2( - 6 + 2) - 3( - 9 + 1) + m(6 - 2)\\ = 2( - 4) - 3( - 8) + 4m\\ = - 8 + 24 + 4m\\ = 16 + 4m
\end{array}\)
Để hệ phương trình là hệ Cramer thì \(\det (A) \ne 0\), tức là \(16 + 4m \ne 0 \Rightarrow 4m \ne - 16 \Rightarrow m \ne - 4\).
Vậy, hệ phương trình là hệ Cramer khi \(m \ne -4\).

Câu 26:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ mx{\rm{ }} + {\rm{ }}my{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có định thức của hệ phương trình là:

\(\begin{vmatrix}
1 & m & m\\
m & 1 & m\\
m & m & 1
\end{vmatrix} = (1-m^2) - m(m-m^2) + m(m^2-m) = 1-m^2 - m^2 + m^3 + m^3 - m^2 = 2m^3 - 3m^2 -m + 1 = (m-1)(2m^2-m-1) = (m-1)^2(2m+1)\)

Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne -\frac{1}{2}\), hệ có nghiệm duy nhất.

Xét \(m = 1\), hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)

Hệ này có vô số nghiệm.

Xét \(m = -\frac{1}{2}\), hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 1\\
-\frac{1}{2}x + y - \frac{1}{2}z = 1\\
-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z = -\frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Nhân cả 3 vế của phương trình với 2, ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y - z = 2\\
-x + 2y - z = 2\\
-x - y + 2z = -1
\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của 3 phương trình, ta được \(0 = 3\) (vô lý). Vậy hệ vô nghiệm.

Do đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ne -\frac{1}{2}\).

Câu 27:

Tìm tất cả giá trị thực m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} + {\rm{ }}8z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{m^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }}} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}5 \end{array} \right.\)

Lời giải: