Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1&{ - 1}\\ 4&1&0&3\\ 2&3&{ - 1}&{ - 4}\\ 6&4&0&3 \end{array}} \right]\)

det(A) = 53

det(A) = 14

det(A) = 20

3 câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo cột 3 (vì có nhiều số 0). Ta có: det(A) = 1 * C_{13} + 0 * C_{23} + (-1) * C_{33} + 0 * C_{43} Trong đó C_{ij} là các phần bù đại số. C_{13} = (-1)^(1+3) * det(B), với B là ma trận con bỏ đi dòng 1 và cột 3: B = [[4, 1, 3], [2, 3, -4], [6, 4, 3]] det(B) = 4*(3*3 - (-4)*4) - 1*(2*3 - (-4)*6) + 3*(2*4 - 3*6) = 4*(9+16) - (6+24) + 3*(8-18) = 4*25 - 30 + 3*(-10) = 100 - 30 - 30 = 40 C_{33} = (-1)^(3+3) * det(C), với C là ma trận con bỏ đi dòng 3 và cột 3: C = [[3, 4, -1], [4, 1, 3], [6, 4, 3]] det(C) = 3*(1*3 - 3*4) - 4*(4*3 - 3*6) + (-1)*(4*4 - 1*6) = 3*(3-12) - 4*(12-18) - (16-6) = 3*(-9) - 4*(-6) - 10 = -27 + 24 - 10 = -13 Vậy det(A) = 1 * 40 + (-1) * (-13) = 40 + 13 = 53 Định thức của ma trận A là 53.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 19:

Tìm định thức của ma trận X thỏa mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right].X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&{ - 1}\\ 3&5&2 \end{array}} \right].\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\), B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&-1\\ 3&5&2 \end{array}} \right]\). Ta có AX = B. Suy ra det(AX) = det(B).
Ta có det(A) = 1 (vì A là ma trận tam giác trên). Do đó det(AX) = det(A)det(X) = det(X).
Tính det(B) = 1*(2*2 - (-1)*5) - 1*(1*2 - (-1)*3) + 1*(1*5 - 2*3) = 1*(4+5) - 1*(2+3) + 1*(5-6) = 9 - 5 - 1 = 3.
Vậy det(X) = det(B) = 3.

Câu 20:

Cho ma trận A = (a_jk), cấp 3, biết a_jk = i^j+k, với i là đơn vị ảo. Tính det(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A như sau:
A = \(\begin{pmatrix} i^2 & i^3 & i^4 \\ i^3 & i^4 & i^5 \\ i^4 & i^5 & i^6 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} -1 & -i & 1 \\ -i & 1 & i \\ 1 & i & -1 \end{pmatrix}\)
Tính định thức của ma trận A:
det(A) = -1*(1*(-1) - i*i) - (-i)*((-i)*(-1) - i*1) + 1*((-i)*i - 1*1) = -1*(-1 + 1) + i*(i + i) + 1* (1 - 1) = 0 + 2i^2 + 0 = -2

Nhận thấy các cột của ma trận A tỉ lệ với nhau, cụ thể cột 1 và cột 3 đối nhau, do đó định thức của ma trận A bằng 0.
Hoặc: Cột 2 nhân với i sẽ ra cột 3, cột 1 nhân với i sẽ ra cột 2, do đó các cột tỉ lệ với nhau, định thức bằng 0.

Vậy det(A) = 0.

Câu 21:

Tìm m để det( A) = 0 với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 3&2&1&0\\ 5&6&{ - 1}&2\\ 6&3&0&m \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A và giải phương trình det(A) = 0.

Vậy m = -3

Câu 22:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 1\\ 2x + 3y - 3z = 5\\ 3x + my - 7z = 4 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0 và các định thức con cũng phải bằng 0. Ta biến đổi hệ phương trình như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2z = 1\\
2x + 3y - 3z = 5\\
3x + my - 7z = 4
\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) và (2), ta có: y + z = 3 => y = 3 - z
Thay vào phương trình (1): x + 3 - z - 2z = 1 => x = 3z - 2
Thay x và y vào phương trình (3), ta có:
3(3z - 2) + m(3 - z) - 7z = 4
9z - 6 + 3m - mz - 7z = 4
(2 - m)z = 10 - 3m

Để hệ có vô số nghiệm thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2 - m = 0\\
10 - 3m = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{10}{3}
\end{array} \right.\)

Vì không tồn tại m thỏa mãn, vậy hệ phương trình không thể có vô số nghiệm. Do đó, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

Câu 23:

Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa \(2x + y + z − 3t = 4\) .

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + {\rm{ }}z + {\rm{ }}t = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z + 4t = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 2z + 5t = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hệ phương trình đã cho là một hệ thuần nhất. Ta cần tìm nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình 2x + y + z - 3t = 4.

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (1) và (2) ta có:
x + y + z + t = 0
2x + y + 3z + 4t = 0
=> (2x + y + 3z + 4t) - 2(x + y + z + t) = 0
=> -y + z + 2t = 0
=> y = z + 2t

Từ phương trình (1) và (3) ta có:
x + y + z + t = 0
3x + 4y + 2z + 5t = 0
=> (3x + 4y + 2z + 5t) - 3(x + y + z + t) = 0
=> y - z + 2t = 0
=> y = z - 2t

Từ đó suy ra:
z + 2t = z - 2t
=> 4t = 0
=> t = 0

Vậy y = z

Thay vào phương trình (1): x + z + z + 0 = 0 => x = -2z

Vậy nghiệm của hệ là (-2z, z, z, 0) = z(-2, 1, 1, 0)

Thay vào phương trình 2x + y + z - 3t = 4:
2(-2z) + z + z - 3(0) = 4
=> -4z + 2z = 4
=> -2z = 4
=> z = -2

Vậy nghiệm của hệ là x = -2(-2) = 4, y = -2, z = -2, t = 0. Nghiệm là (4, -2, -2, 0).

Câu 24:

Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + z = - 1{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {1 - m} \right)z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 6y + \left( {{m^2} + 1{\rm{ }}} \right)z = m{\rm{ }} - {\rm{ }}3 \end{array} \right.\)

Lời giải: