Tập hợp tất cả các số phức \(\left| {z + 4i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Phân tích ma trận B: Ma trận B là ma trận vuông cấp 4, với các phần tử trên đường chéo phụ thứ nhất bằng 1, còn lại bằng 0. Khi nhân ma trận A với ma trận B, ta thực hiện phép nhân dòng của A với cột của B.

Xét tích AB: Gọi A = (a_{ij}). Khi nhân A với B, ta có:

(AB)_{ij} = \(\sum_{k=1}^4 a_{ik}b_{kj}\)

Vì b_{kj} chỉ bằng 1 khi k = j + 1, và bằng 0 khi k \(\ne\) j + 1, nên:

(AB)_{ij} = a_{i, j+1}

Điều này có nghĩa là phần tử ở hàng i, cột j của AB bằng phần tử ở hàng i, cột j+1 của A. Hay nói cách khác, cột j của AB chính là cột j+1 của A. Như vậy, các cột của A bị dời sang trái 1 cột. Cột cuối cùng của AB sẽ là các phần tử a_{i5}, mà vì A là ma trận 4x4, nên các giá trị này không tồn tại, hoặc có thể coi là bằng 0 (nếu ta mở rộng A thành ma trận 4x5 với cột cuối cùng toàn số 0). Do đó, cột cuối cùng của AB sẽ bằng 0.

Vậy đáp án đúng là: Các cột của A dời qua trái 1 cột, cột cuối bằng 0.

Để tìm ma trận nghịch đảo A^-1 của ma trận A, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức của A:

\(\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
2&5&2\\
3&7&4
\end{array}} \right| = 1(5.4 - 2.7) - 2(2.4 - 2.3) + 1(2.7 - 5.3) = 1(20 - 14) - 2(8 - 6) + 1(14 - 15) = 6 - 4 - 1 = 1\)

2. Tìm ma trận phụ hợp (adjoint) của A:

Tìm các phần bù đại số:

\(C_{11} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 7&4 \end{array}} \right| = 20 - 14 = 6\)

\(C_{12} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 3&4 \end{array}} \right| = -(8 - 6) = -2\)

\(C_{13} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 3&7 \end{array}} \right| = 14 - 15 = -1\)

\(C_{21} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 7&4 \end{array}} \right| = -(8 - 7) = -1\)

\(C_{22} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 3&4 \end{array}} \right| = 4 - 3 = 1\)

\(C_{23} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&7 \end{array}} \right| = -(7 - 6) = -1\)

\(C_{31} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 5&2 \end{array}} \right| = 4 - 5 = -1\)

\(C_{32} = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right| = -(2 - 2) = 0\)

\(C_{33} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&5 \end{array}} \right| = 5 - 4 = 1\)

Ma trận phụ hợp của A là:

\(adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

3. Tính ma trận nghịch đảo:

\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6&-1&-1\\
-2&1&0\\
-1&-1&1
\end{array}} \right]\)

Vậy \(M = \left\{ {6, -1, -1, -2, 1, 0, -1, -1, 1} \right\}\)

Xét các phương án:

A. \(\left\{ { - 1,0,2} \right\} \subset M\): Đúng vì -1, 0 ∈ M nhưng 2 ∉ M.

B. \(\left\{ {6,-2,2} \right\} \subset M\): Sai vì 2 ∉ M.

C. \(\left\{ { 6,-1,0} \right\} \subset M\): Đúng vì 6, -1, 0 ∈ M.

D. \(\left\{ {6,1,3} \right\} \subset M\): Sai vì 3 ∉ M.

Vậy, khẳng định đúng là C.

Ta có \(n = 3\) và \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ma trận Fourier là:

\({F_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&{{z^4}}
\end{array}} \right)\)

Vectơ \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
0
\end{array}} \right)\).

Phép biến đổi Fourier của vecto X là:

\({F_3}.X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
0
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + 2 + 0}\\
{1 + 2z + 0}\\
{1 + 2{z^2} + 0}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{1 + 2.( - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}\\
{1 + 2.( - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{ - i\sqrt 3 }\\
{i\sqrt 3 }
\end{array}} \right)\)

\(= {(3,0 - i\sqrt 3 ,0 + i\sqrt 3 )^T}\). Không có đáp án nào đúng.