Tính \(A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ 0&2&1&0\\ 3&1&0&{ - 1}\\ 0&1&{ - 1}&0 \end{array}} \right|\)

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng khai triển Laplace theo cột đầu tiên. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng tam giác trên. Ma trận A là: \(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&2&0&1\\ 3&1&a&b \end{array}} \right|\) Trừ 3 lần hàng 1 từ hàng 4, ta được: \(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&2&0&1\\ 0&{ - 5}&{a + 3}&{b - 9} \end{array}} \right|\) Tiếp theo, trừ 2 lần hàng 2 từ hàng 3, và cộng 5 lần hàng 2 vào hàng 4, ta được: \(A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&0&0&{ - 7}\\ 0&0&{a + 3}&{b + 11} \end{array}} \right|\) Đổi chỗ hàng 3 và hàng 4, ta đổi dấu định thức: \(A= - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&0&{a + 3}&{b + 11}\\ 0&0&0&{ - 7} \end{array}} \right|\) Định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đường chéo chính: \(A = -1 * 1 * (a+3) * (-7) = 7(a+3) = 7a + 21\) Vậy A = 7a + 21.

Ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|\] Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: dòng 3 trừ dòng 2 và dòng 1 nhân a, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ b&c&a \end{array}} \right|\] Tiếp tục sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên cột: cột 2 trừ cột 1, cột 3 trừ cột 1, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b - a}&{c - a}\\ b&{c - b}&{a - b} \end{array}} \right| = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b - a}&{c - a}\\ {c - b}&{a - b} \end{array}} \right|\] \[= (b - a)(a - b) - (c - a)(c - b) = ab - b^2 - a^2 + ab - (c^2 - bc - ac + ab) = 2ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac - ab\] \[= ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac\] Hoán đổi dòng 2 và dòng 3: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ b&c&a\\ a&b&c \end{array}} \right|\] Thực hiện C2 - C1, C3 - C1: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ b&{c - b}&{a - b}\\ a&{b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {c - b}&{a - b}\\ {b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -[(c-b)(c-a) - (a-b)(a-b)] = -[c^2 - ac - bc + ab - (a^2 - 2ab + b^2)] = -c^2 + ac + bc - ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - c^2 + ac + bc - 3ab\] Nếu b+a = c+a = a+b => a=b=c => I = 0 Nhận xét: Nếu ta trừ dòng 3 cho dòng 2, ta được dòng 3 là (b-c, c-b, a-c). Do đó, định thức này sẽ bằng 0 nếu dòng 2 và dòng 3 tỉ lệ, tức là a=b=c. Tuy nhiên, ta cần chứng minh điều này tổng quát hơn. Thực hiện phép biến đổi dòng 3 = dòng 3 - dòng 1 * (a+b+c): \[I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a - (a+b+c)}&{c + a - (a+b+c)}&{a + b - (a+b+c)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {-c}&{-b}&{-c} \end{array}} \right|\] Biến đổi sai. Ta có dòng 3 = dòng 1 * a + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * b + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * c + dòng 2. Điều này không đúng. Thực hiện phép biến đổi C3 -> C3 - C2, C2 -> C2 - C1, ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b-a}&{c-b}\\ {b + a}&{c-b}&{a-c} \end{array}} \right| = (b-a)(a-c) - (c-b)^2 = ab - ac - a^2 + ac - (c^2 -2bc +b^2) = ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2\] Nếu I=0, thì ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2 = 0 Đáp án đúng là I = 0

Ma trận A có kích thước 2x2, ma trận B có kích thước 3x2. 1. **Tính AB:** Tích AB có thể thực hiện được và có kích thước 2x2. Ta có: \(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&2\\ 0&3 \end{array}} \right)\). Tuy nhiên, phép nhân này không hợp lệ vì số cột của A (2) không bằng số hàng của B (3). Như vậy, AB không xác định. 2. **Tính BA:** Tích BA không thể thực hiện được vì số cột của B (2) khác số hàng của A (2). Vậy BA xác định là sai. Vì AB không xác định, BA cũng không xác định thì các phương án 1, 2, 3 đều sai

Để tìm giá trị của k sao cho r(A) \ge 3, ta cần xét định thức của các ma trận con cấp 3 của A. Vì A là ma trận vuông cấp 4, r(A) là hạng của A. r(A) \ge 3 có nghĩa là có ít nhất một định thức con cấp 3 khác 0. Ta tính định thức của A: det(A) = 1 * (3 * (5*(k^2 + 2) - 4*6) - 0 + 0) - 0 + 0 + 3 * (2*(-2*4 - 5*(k+1)) - 3*(4*4 - 5*(-1))) = 3 * (5k^2 + 10 - 24) + 3 * (2*(-8 - 5k - 5) - 3*(16 + 5)) = 3*(5k^2 - 14) + 3*(2*(-13-5k) - 3*21) = 15k^2 - 42 + 3*(-26 - 10k - 63) = 15k^2 - 42 - 30k - 267 = 15k^2 - 30k - 309. Để r(A) < 4, det(A) phải bằng 0. Nếu det(A) != 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) >= 3. Nếu det(A) = 0 thì cần xét thêm các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, nếu ta chọn một giá trị k sao cho một định thức con cấp 3 khác 0, thì r(A) >= 3. Xét định thức con tạo bởi 3 hàng đầu và 3 cột đầu: | 1 0 0; 2 3 0; 4 -2 5 | = 1*(3*5 - 0) = 15 != 0. Vậy với mọi k, tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0, suy ra r(A) >= 3. Vậy đáp án đúng là mọi giá trị của K.