Cho \(f(x)=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&x\\ 3&4&2&{\mathop x\nolimits^2 }\\ { - 2}&1&3&{2x}\\ 1&{ - 1}&2&1 \end{array}} \right|\). Khẳng định đúng là?

Ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|\] Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: dòng 3 trừ dòng 2 và dòng 1 nhân a, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ b&c&a \end{array}} \right|\] Tiếp tục sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên cột: cột 2 trừ cột 1, cột 3 trừ cột 1, ta được: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b - a}&{c - a}\\ b&{c - b}&{a - b} \end{array}} \right| = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b - a}&{c - a}\\ {c - b}&{a - b} \end{array}} \right|\] \[= (b - a)(a - b) - (c - a)(c - b) = ab - b^2 - a^2 + ab - (c^2 - bc - ac + ab) = 2ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac - ab\] \[= ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac\] Hoán đổi dòng 2 và dòng 3: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ b&c&a\\ a&b&c \end{array}} \right|\] Thực hiện C2 - C1, C3 - C1: \[I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ b&{c - b}&{a - b}\\ a&{b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {c - b}&{a - b}\\ {b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -[(c-b)(c-a) - (a-b)(a-b)] = -[c^2 - ac - bc + ab - (a^2 - 2ab + b^2)] = -c^2 + ac + bc - ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - c^2 + ac + bc - 3ab\] Nếu b+a = c+a = a+b => a=b=c => I = 0 Nhận xét: Nếu ta trừ dòng 3 cho dòng 2, ta được dòng 3 là (b-c, c-b, a-c). Do đó, định thức này sẽ bằng 0 nếu dòng 2 và dòng 3 tỉ lệ, tức là a=b=c. Tuy nhiên, ta cần chứng minh điều này tổng quát hơn. Thực hiện phép biến đổi dòng 3 = dòng 3 - dòng 1 * (a+b+c): \[I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a - (a+b+c)}&{c + a - (a+b+c)}&{a + b - (a+b+c)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {-c}&{-b}&{-c} \end{array}} \right|\] Biến đổi sai. Ta có dòng 3 = dòng 1 * a + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * b + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * c + dòng 2. Điều này không đúng. Thực hiện phép biến đổi C3 -> C3 - C2, C2 -> C2 - C1, ta có: \[I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b-a}&{c-b}\\ {b + a}&{c-b}&{a-c} \end{array}} \right| = (b-a)(a-c) - (c-b)^2 = ab - ac - a^2 + ac - (c^2 -2bc +b^2) = ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2\] Nếu I=0, thì ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2 = 0 Đáp án đúng là I = 0

Ma trận A có kích thước 2x2, ma trận B có kích thước 3x2. 1. **Tính AB:** Tích AB có thể thực hiện được và có kích thước 2x2. Ta có: \(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&2\\ 0&3 \end{array}} \right)\). Tuy nhiên, phép nhân này không hợp lệ vì số cột của A (2) không bằng số hàng của B (3). Như vậy, AB không xác định. 2. **Tính BA:** Tích BA không thể thực hiện được vì số cột của B (2) khác số hàng của A (2). Vậy BA xác định là sai. Vì AB không xác định, BA cũng không xác định thì các phương án 1, 2, 3 đều sai

Để tìm giá trị của k sao cho r(A) \ge 3, ta cần xét định thức của các ma trận con cấp 3 của A. Vì A là ma trận vuông cấp 4, r(A) là hạng của A. r(A) \ge 3 có nghĩa là có ít nhất một định thức con cấp 3 khác 0. Ta tính định thức của A: det(A) = 1 * (3 * (5*(k^2 + 2) - 4*6) - 0 + 0) - 0 + 0 + 3 * (2*(-2*4 - 5*(k+1)) - 3*(4*4 - 5*(-1))) = 3 * (5k^2 + 10 - 24) + 3 * (2*(-8 - 5k - 5) - 3*(16 + 5)) = 3*(5k^2 - 14) + 3*(2*(-13-5k) - 3*21) = 15k^2 - 42 + 3*(-26 - 10k - 63) = 15k^2 - 42 - 30k - 267 = 15k^2 - 30k - 309. Để r(A) < 4, det(A) phải bằng 0. Nếu det(A) != 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) >= 3. Nếu det(A) = 0 thì cần xét thêm các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, nếu ta chọn một giá trị k sao cho một định thức con cấp 3 khác 0, thì r(A) >= 3. Xét định thức con tạo bởi 3 hàng đầu và 3 cột đầu: | 1 0 0; 2 3 0; 4 -2 5 | = 1*(3*5 - 0) = 15 != 0. Vậy với mọi k, tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0, suy ra r(A) >= 3. Vậy đáp án đúng là mọi giá trị của K.

Để A khả nghịch thì det(A) phải khác 0. Ta có: \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)\) Tính định thức của ma trận thứ nhất: \(\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{vmatrix} = 1(16+2) - 2(8-6) + 1(-2-12) = 18 - 4 - 14 = 0\) Vậy det(A) = 0 với mọi m. Do đó A không khả nghịch với mọi giá trị của m.

Vì V có chiều bằng 3 và {x, y} độc lập tuyến tính, để V = thì {x, y, z} phải độc lập tuyến tính. Phương án 1: 2x là tổ hợp tuyến tính của x nên chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, do đó không thể bằng V. Phương án 2: Tập {x, y, 0} phụ thuộc tuyến tính vì luôn tồn tại hệ số khác 0 (ví dụ 0x + 0y + 1*0 = 0) để tổ hợp tuyến tính bằng 0. Phương án 3: x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, do đó không thể bằng V. Phương án 4: x - y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, x - y} chỉ sinh ra không gian 2 chiều (không gian sinh bởi {x, y}). Vì không có đáp án nào đúng nên ta chọn đáp án gần đúng nhất, đó là phương án 4, mặc dù nó không đúng hoàn toàn vì không gian sinh ra là không gian hai chiều được sinh bởi {x, y}, chứ không phải một không gian hai chiều bất kỳ. Tuy nhiên, các phương án còn lại sai rõ ràng hơn. Do đó, xem xét về mặt ngữ cảnh, phương án 4 có vẻ hợp lý nhất so với các phương án khác. Nhưng cần lưu ý rằng, theo lý thuyết, không có đáp án nào thực sự đúng trong các lựa chọn đã cho.