Ta có tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 + 2x + 5$.
Để xét dấu của tam thức bậc hai, ta tìm nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.
$2x^2 + 2x + 5 = 0$ có $\Delta' = 1^2 - 2*5 = 1 - 10 = -9 < 0$.
Vì $\Delta' < 0$ và $a = 2 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy, tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$ thuộc tập số thực.
$f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ có $a = 2 > 0$ và $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
$g(x) = -x^2 + 3x - 4$ có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Vậy $g(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $g(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
$h(x) = 4 - 3x^2 = -3x^2 + 4$ có $a = -3 < 0$ và $\Delta = 0^2 - 4(-3)(4) = 48 > 0$. Vì $\Delta > 0$ nên $h(x)$ có hai nghiệm phân biệt, do đó $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Vậy có 1 tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ là $h(x)$. Tuy nhiên, đề bài hỏi số tam thức đổi dấu. Đáp án đúng là 1.
Ta có tam thức bậc hai $f(x) = -x^2 + 5x - 6$. Ta tìm nghiệm của phương trình $-x^2 + 5x - 6 = 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$. Vì hệ số $a = -1 < 0$ nên $f(x) > 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $2 < x < 3$. Vậy $x \in (2; 3)$.