Câu hỏi:

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần:

• $a < 0$ và $\Delta' \leq 0$

Ta có $a = 2m^2 - 3m - 2$ và $\Delta' = (m-2)^2 - (2m^2 - 3m - 2)(-1) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2$ $a < 0 \Leftrightarrow 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m+1)(m-2) < 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < m < 2$ $\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m-1)(m-2) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m \leq 2$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $\frac{1}{3} \leq m < 2$. Tuy nhiên, nếu $m=2$ thì bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, tức là $-1 \leq 0$, điều này luôn đúng với mọi $x$, vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$. Nếu $a=0$ thì $2m^2 - 3m -2 = 0$ khi $m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, hay $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=2$ là một nghiệm. Nếu $m = -\frac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $0x^2 - 5x - 1 \leq 0$, hay $-5x - 1 \leq 0$, tức là $x \geq -\frac{1}{5}$. Vậy $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \le m \le 2$ không phải là đáp án đúng. Xét trường hợp $2m^2-3m-2 = 0$, ta có $m = 2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Với $m=2$, ta có $0.x^2 + 0.x -1 \le 0$ hay $-1 \le 0$ (luôn đúng). Vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy đáp án là $m \leq 2$.