Câu hỏi:

Để $f(x) < 0$ với mọi $x$, ta cần:

• $a < 0$ (trong trường hợp này, $m < 0$)
• $\Delta < 0$ (để phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm, tức là $f(x)$ luôn cùng dấu)

Ta có $\Delta = (-m)^2 - 4m(m+3) = m^2 - 4m^2 - 12m = -3m^2 - 12m$. Để $\Delta < 0$, ta cần $-3m^2 - 12m < 0$, tương đương $3m^2 + 12m > 0$, hay $m^2 + 4m > 0$. Điều này có nghĩa là $m(m+4) > 0$. Bất phương trình này có nghiệm là $m < -4$ hoặc $m > 0$. Kết hợp với điều kiện $m < 0$, ta được $m < -4$. Vậy, $m \in (-\infty, -4)$. Vì đề bài không rõ là khoảng hay đoạn nên ta chọn đáp án phù hợp nhất là $m \in (-\infty, -4]$.

Ta có: $x(x+5) \leq 2(x^{2}+2)$ $\Leftrightarrow x^2 + 5x \leq 2x^2 + 4$ $\Leftrightarrow 0 \leq x^2 - 5x + 4$ $\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x-1)(x-4) \geq 0$ Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \in(-\infty ; 1] \cup[4 ;+\infty)$.

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần:

• $a < 0$ và $\Delta' \leq 0$

Ta có $a = 2m^2 - 3m - 2$ và $\Delta' = (m-2)^2 - (2m^2 - 3m - 2)(-1) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2$ $a < 0 \Leftrightarrow 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m+1)(m-2) < 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < m < 2$ $\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m-1)(m-2) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m \leq 2$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $\frac{1}{3} \leq m < 2$. Tuy nhiên, nếu $m=2$ thì bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, tức là $-1 \leq 0$, điều này luôn đúng với mọi $x$, vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$. Nếu $a=0$ thì $2m^2 - 3m -2 = 0$ khi $m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, hay $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=2$ là một nghiệm. Nếu $m = -\frac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $0x^2 - 5x - 1 \leq 0$, hay $-5x - 1 \leq 0$, tức là $x \geq -\frac{1}{5}$. Vậy $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \le m \le 2$ không phải là đáp án đúng. Xét trường hợp $2m^2-3m-2 = 0$, ta có $m = 2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Với $m=2$, ta có $0.x^2 + 0.x -1 \le 0$ hay $-1 \le 0$ (luôn đúng). Vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy đáp án là $m \leq 2$.

Để tam thức $f(x) = x^2 - (m+2)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$, ta cần có:

• $a > 0$ (điều này luôn đúng vì $a = 1 > 0$)
• $\Delta \leq 0$

Tính $\Delta$: $\Delta = (m+2)^2 - 4(8m+1) = m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 = m^2 - 28m$
Vậy, ta cần $m^2 - 28m \leq 0$.

Ta có tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 + 2x + 5$.
Để xét dấu của tam thức bậc hai, ta tìm nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.
$2x^2 + 2x + 5 = 0$ có $\Delta' = 1^2 - 2*5 = 1 - 10 = -9 < 0$.
Vì $\Delta' < 0$ và $a = 2 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy, tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$ thuộc tập số thực.