Câu hỏi:

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần:

• $a < 0$ và $\Delta' \leq 0$

Ta có $a = 2m^2 - 3m - 2$ và $\Delta' = (m-2)^2 - (2m^2 - 3m - 2)(-1) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2$ $a < 0 \Leftrightarrow 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m+1)(m-2) < 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < m < 2$ $\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m-1)(m-2) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m \leq 2$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $\frac{1}{3} \leq m < 2$. Tuy nhiên, nếu $m=2$ thì bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, tức là $-1 \leq 0$, điều này luôn đúng với mọi $x$, vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$. Nếu $a=0$ thì $2m^2 - 3m -2 = 0$ khi $m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, hay $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=2$ là một nghiệm. Nếu $m = -\frac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $0x^2 - 5x - 1 \leq 0$, hay $-5x - 1 \leq 0$, tức là $x \geq -\frac{1}{5}$. Vậy $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn. Vậy $\frac{1}{3} \le m \le 2$ không phải là đáp án đúng. Xét trường hợp $2m^2-3m-2 = 0$, ta có $m = 2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Với $m=2$, ta có $0.x^2 + 0.x -1 \le 0$ hay $-1 \le 0$ (luôn đúng). Vậy $m=2$ thỏa mãn. Vậy đáp án là $m \leq 2$.

Để tam thức $f(x) = x^2 - (m+2)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$, ta cần có:

• $a > 0$ (điều này luôn đúng vì $a = 1 > 0$)
• $\Delta \leq 0$

Tính $\Delta$: $\Delta = (m+2)^2 - 4(8m+1) = m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 = m^2 - 28m$
Vậy, ta cần $m^2 - 28m \leq 0$.

Ta có tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 + 2x + 5$.
Để xét dấu của tam thức bậc hai, ta tìm nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.
$2x^2 + 2x + 5 = 0$ có $\Delta' = 1^2 - 2*5 = 1 - 10 = -9 < 0$.
Vì $\Delta' < 0$ và $a = 2 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy, tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$ thuộc tập số thực.

Xét dấu của các tam thức bậc hai:

• $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ có $a = 2 > 0$ và $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
• $g(x) = -x^2 + 3x - 4$ có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Vậy $g(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $g(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
• $h(x) = 4 - 3x^2 = -3x^2 + 4$ có $a = -3 < 0$ và $\Delta = 0^2 - 4(-3)(4) = 48 > 0$. Vì $\Delta > 0$ nên $h(x)$ có hai nghiệm phân biệt, do đó $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Vậy có 1 tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ là $h(x)$. Tuy nhiên, đề bài hỏi số tam thức đổi dấu. Đáp án đúng là 1.

Để $f(x) < 0$, ta cần giải bất phương trình $2x^2 - 7x - 9 < 0$. Tìm nghiệm của phương trình $2x^2 - 7x - 9 = 0$. Ta có $a = 2$, $b = -7$, $c = -9$. $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(-9) = 49 + 72 = 121$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$. Vậy, $2x^2 - 7x - 9 < 0$ khi $-1 < x < 4.5$. Các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $0, 1, 2, 3, 4$. Vậy có 5 giá trị nguyên của $x$.