Xét các số thực dương \(a\), \(b\), \(x\),\(y\) thỏa mãn \(a>1\), \(b>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo bài ra ta có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^x} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^y} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{x - \frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^{y - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\log _a}b\\
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.{\log _b}a
\end{array} \right.\)
Do đó: \(P=x+2y\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+1+{{\log }_{b}}a\)\(=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a\)
Đặt \(t={{\log }_{a}}b\). Vì \(a\), \(b>1\) nên \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}1=0\).
Khi đó \(P=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{t}\)\(\ge \frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{1}{2}t.\frac{1}{t}}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\).
Vậy \(P\)đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\) khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(b={{a}^{\sqrt{2}}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{x-1}}=27\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 1;0;1 \right)\) và \(N\left( 3;2;-1 \right).\) Đường thẳng \(MN\( có phương trình tham số là
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), y = -1, x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào dưới đây?
-
Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 và chiều cao h=4. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thi hàm số \(y=\frac{x-2}{x+1}\) là
-
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của f’(x) như sau:
.PNG)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=2a, AC=4a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (minh học như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
.PNG)
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+i\) và \({{z}_{2}}=1+3i\). Phần thực của số phức \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức \(z=2+i\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 2;1;0 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-2}.\) Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)=\cos x{{\cos }^{2}}2x,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\). Tâm của (S) có tọa độ là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{ax+1}{bx+c}\ \left( a,\ b,\ c\in \mathbb{R} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?
-
Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P\left( n \right)=\frac{1}{1+49{{\text{e}}^{-0,015n}}}.\) Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ người xem mua sản phẩm đạt trên \(30%?\)
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 - i\) và \({z_2} = - 1 + i\). Phần ảo của số phức \({z_1}{z_2}\) bằng
