Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\), \(C\left( 3;1;-3 \right)\). Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) có phương trình là

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=180-20t\,\left( m/s \right)\). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm \(t=0\,(~s\,)\) đến thời điểm mà vật dừng lại.

Cho hai số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( -2\,;-1\,;\,3 \right)\) và \(B\left( 0\,;\,3\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\). Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) có tọa độ là:

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}'\). Mặt phẳng \(\left( M{A}'D \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Thể tích của khối đa điện \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) bằng:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng

Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt{3}\). Thể tích khối lập phương đó bằng:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=2{{x}^{2}}+x+1\) và \(y={{x}^{2}}+3\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số \(y={{e}^{3f\left( 2-x \right)+1}}+{{3}^{f\left( 2-x \right)}}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có ba nghiệm thực phân biệt.

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng:

Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(m\) để phương trình có nghiệm thực?