Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
.PNG)
Gọi \(O\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)
Đặt \(d\left( A,BC \right)=a,d\left( B,AC \right)=b,d\left( C,AB \right)=c,SO=h\)
Ta có \({{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta OAC}}+{{S}_{\Delta OAB}}\Rightarrow a+b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\frac{d\left( O,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\frac{OM}{AM}=\frac{OI}{AK}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow a=h\)
Tương tự\(\frac{d\left( O,\left( SAC \right) \right)}{d\left( B,\left( SAC \right) \right)}=\frac{d\left( O,AC \right)}{d\left( B,AC \right)}==\frac{2b}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SAC \right) \right)=\frac{2b}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{15}}{10}=\frac{b}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow b=2h\)
Tương tự\(\frac{d\left( O,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{d\left( O,AB \right)}{d\left( C,AB \right)}==\frac{2c}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( O,\left( SAC \right) \right)=\frac{2c}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{30}}{20}=\frac{c}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow \frac{10}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{h}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow c=3h\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow V=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{48}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Một chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính \(S=a+b\).
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là
-
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\)có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng:
-
Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt{3}\). Thể tích khối lập phương đó bằng:
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}'\). Mặt phẳng \(\left( M{A}'D \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Thể tích của khối đa điện \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) bằng:
-
Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa: \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
.PNG)
Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( 2\sin x+1 \right)=m\) có nghiệm thuộc nửa khoảng \(\left[ 0\,;\frac{\pi }{6} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có ba nghiệm thực phân biệt.
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) biết \(A\left( 0\,;0\,;0 \right)\), \(B\left( 1\,;0\,;0 \right)\), \(D\left( 0\,;1\,;0 \right)\), \({{A}_{1}}\left( 0\,;0\,;1 \right)\).Gọi \(\left( P \right)\text{:}\,\,ax+by+cz-3=0\) là phương trình mặt phẳng chứa \(C{{D}_{1}}\) và tạo với mặt phẳng \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\) một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của \(T=a+b+c\) bằng
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
-
Biết \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=5\), tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( 3-2x \right)}\text{d}x\) bằng
-
Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng
